Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5218 / 1290
↖ ↑ ↗
← N 76.740397°
E 49.306641°		 ← 1 120.78 m → N 76.740397°
E 49.350586°		 →
↑
1 121.17 m
↓
↑
1 121.17 m
↓
N 76.730314°
E 49.306641°		 ← 1 121.62 m →
1 257 056 m²		 N 76.730314°
E 49.350586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63702392578125 y=0.15753173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63702392578125 × 213)
    floor (0.63702392578125 × 8192)
    floor (5218.5)     		tx = 5218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15753173828125 × 213)
    floor (0.15753173828125 × 8192)
    floor (1290.5)     		ty = 1290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5218 / 1290 ti = "13/5218/1290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5218/1290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5218 ÷ 213
    5218 ÷ 8192     		x = 0.636962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1290 ÷ 213
    1290 ÷ 8192     		y = 0.157470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636962890625 × 2 - 1) × π
    0.27392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86056322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157470703125 × 2 - 1) × π
    0.68505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15217504534204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86056322} λ = 0.86056322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15217504534204))-π/2
    2×atan(8.60355117489696)-π/2
    2×1.45508446404565-π/2
    2.9101689280913-1.57079632675     		φ = 1.33937260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86056322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.306641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33937260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.740397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5218 KachelY 1290 0.86056322 1.33937260 49.306641 76.740397
    Oben rechts KachelX + 1 5219 KachelY 1290 0.86133021 1.33937260 49.350586 76.740397
    Unten links KachelX 5218 KachelY + 1 1291 0.86056322 1.33919662 49.306641 76.730314
    Unten rechts KachelX + 1 5219 KachelY + 1 1291 0.86133021 1.33919662 49.350586 76.730314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33937260-1.33919662) × R
    0.000175979999999853 × 6371000     		dl = 1121.16857999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33937260-1.33919662) × R
    0.000175979999999853 × 6371000     		dr = 1121.16857999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86056322-0.86133021) × cos(1.33937260) × R
    0.000766990000000023 × 0.229363526947781 × 6371000     		do = 1120.7833354011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86056322-0.86133021) × cos(1.33919662) × R
    0.000766990000000023 × 0.22953481191469 × 6371000     		du = 1121.62031824258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33937260)-sin(1.33919662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229363526947781-0.22953481191469)×R²
    abs(0.86133021-0.86056322)×0.00017128496690913×R²
    0.000766990000000023×0.00017128496690913×6371000²
    0.000766990000000023×0.00017128496690913×40589641000000     		ar = 1257056.26331333m²