Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52170 / 49119
↖ ↑ ↗
← S 66.440911°
E106.578369°		 ← 244.15 m → S 66.440911°
E106.583862°		 →
↑
244.07 m
↓
↑
244.07 m
↓
S 66.443106°
E106.578369°		 ← 244.13 m →
59 589 m²		 S 66.443106°
E106.583862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.796058654785156 y=0.749504089355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.796058654785156 × 216)
    floor (0.796058654785156 × 65536)
    floor (52170.5)     		tx = 52170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749504089355469 × 216)
    floor (0.749504089355469 × 65536)
    floor (49119.5)     		ty = 49119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52170 / 49119 ti = "16/52170/49119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52170/49119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52170 ÷ 216
    52170 ÷ 65536     		x = 0.796051025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49119 ÷ 216
    49119 ÷ 65536     		y = 0.749496459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.796051025390625 × 2 - 1) × π
    0.59210205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.86014345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749496459960938 × 2 - 1) × π
    -0.498992919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56763249137508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.86014345} λ = 1.86014345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56763249137508))-π/2
    2×atan(0.208538314637751)-π/2
    2×0.205591835774926-π/2
    0.411183671549852-1.57079632675     		φ = -1.15961266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.86014345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.578369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15961266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.440911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52170 KachelY 49119 1.86014345 -1.15961266 106.578369 -66.440911
    Oben rechts KachelX + 1 52171 KachelY 49119 1.86023933 -1.15961266 106.583862 -66.440911
    Unten links KachelX 52170 KachelY + 1 49120 1.86014345 -1.15965097 106.578369 -66.443106
    Unten rechts KachelX + 1 52171 KachelY + 1 49120 1.86023933 -1.15965097 106.583862 -66.443106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15961266--1.15965097) × R
    3.83099999998748e-05 × 6371000     		dl = 244.073009999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15961266--1.15965097) × R
    3.83099999998748e-05 × 6371000     		dr = 244.073009999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.86014345-1.86023933) × cos(-1.15961266) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.399694613956636 × 6371000     		do = 244.15404648328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.86014345-1.86023933) × cos(-1.15965097) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.399659496864673 × 6371000     		du = 244.132595155681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15961266)-sin(-1.15965097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399694613956636-0.399659496864673)×R²
    abs(1.86023933-1.86014345)×3.51170919634103e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.51170919634103e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.51170919634103e-05×40589641000000     		ar = 59588.7951909531m²