Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5217 / 1262
↖ ↑ ↗
← N 77.019692°
E 49.262695°		 ← 1 097.59 m → N 77.019692°
E 49.306641°		 →
↑
1 098.04 m
↓
↑
1 098.04 m
↓
N 77.009817°
E 49.262695°		 ← 1 098.41 m →
1 205 645 m²		 N 77.009817°
E 49.306641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63690185546875 y=0.15411376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63690185546875 × 213)
    floor (0.63690185546875 × 8192)
    floor (5217.5)     		tx = 5217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15411376953125 × 213)
    floor (0.15411376953125 × 8192)
    floor (1262.5)     		ty = 1262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5217 / 1262 ti = "13/5217/1262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5217/1262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5217 ÷ 213
    5217 ÷ 8192     		x = 0.6368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1262 ÷ 213
    1262 ÷ 8192     		y = 0.154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6368408203125 × 2 - 1) × π
    0.273681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.85979623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154052734375 × 2 - 1) × π
    0.69189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17365077637183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85979623} λ = 0.85979623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17365077637183))-π/2
    2×atan(8.79031701420744)-π/2
    2×1.45752176647008-π/2
    2.91504353294016-1.57079632675     		φ = 1.34424721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85979623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.262695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34424721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.019692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5217 KachelY 1262 0.85979623 1.34424721 49.262695 77.019692
    Oben rechts KachelX + 1 5218 KachelY 1262 0.86056322 1.34424721 49.306641 77.019692
    Unten links KachelX 5217 KachelY + 1 1263 0.85979623 1.34407486 49.262695 77.009817
    Unten rechts KachelX + 1 5218 KachelY + 1 1263 0.86056322 1.34407486 49.306641 77.009817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34424721-1.34407486) × R
    0.000172349999999932 × 6371000     		dl = 1098.04184999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34424721-1.34407486) × R
    0.000172349999999932 × 6371000     		dr = 1098.04184999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85979623-0.86056322) × cos(1.34424721) × R
    0.000766989999999912 × 0.224616163749478 × 6371000     		do = 1097.58537698724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85979623-0.86056322) × cos(1.34407486) × R
    0.000766989999999912 × 0.224784106408149 × 6371000     		du = 1098.40602766194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34424721)-sin(1.34407486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224616163749478-0.224784106408149)×R²
    abs(0.86056322-0.85979623)×0.000167942658670733×R²
    0.000766989999999912×0.000167942658670733×6371000²
    0.000766989999999912×0.000167942658670733×40589641000000     		ar = 1205645.23525733m²