Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5216 / 3040
↖ ↑ ↗
← N 81.147481°
W122.695313°		 ← 188 m → N 81.147481°
W122.684326°		 →
↑
188.01 m
↓
↑
188.01 m
↓
N 81.145790°
W122.695313°		 ← 188.04 m →
35 349 m²		 N 81.145790°
W122.684326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159194946289062 y=0.0927886962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159194946289062 × 215)
    floor (0.159194946289062 × 32768)
    floor (5216.5)     		tx = 5216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0927886962890625 × 215)
    floor (0.0927886962890625 × 32768)
    floor (3040.5)     		ty = 3040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5216 / 3040 ti = "15/5216/3040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5216/3040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5216 ÷ 215
    5216 ÷ 32768     		x = 0.1591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3040 ÷ 215
    3040 ÷ 32768     		y = 0.0927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1591796875 × 2 - 1) × π
    -0.681640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14143718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0927734375 × 2 - 1) × π
    0.814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55867995412012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14143718} λ = -2.14143718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55867995412012))-π/2
    2×atan(12.9187527087027)-π/2
    2×1.4935435223922-π/2
    2.9870870447844-1.57079632675     		φ = 1.41629072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14143718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.695313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41629072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.147481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5216 KachelY 3040 -2.14143718 1.41629072 -122.695313 81.147481
    Oben rechts KachelX + 1 5217 KachelY 3040 -2.14124543 1.41629072 -122.684326 81.147481
    Unten links KachelX 5216 KachelY + 1 3041 -2.14143718 1.41626121 -122.695313 81.145790
    Unten rechts KachelX + 1 5217 KachelY + 1 3041 -2.14124543 1.41626121 -122.684326 81.145790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41629072-1.41626121) × R
    2.95099999998438e-05 × 6371000     		dl = 188.008209999005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41629072-1.41626121) × R
    2.95099999998438e-05 × 6371000     		dr = 188.008209999005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14143718--2.14124543) × cos(1.41629072) × R
    0.000191749999999935 × 0.153891614256514 × 6371000     		do = 188.000036221553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14143718--2.14124543) × cos(1.41626121) × R
    0.000191749999999935 × 0.153920772658547 × 6371000     		du = 188.035657269944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41629072)-sin(1.41626121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153891614256514-0.153920772658547)×R²
    abs(-2.14124543--2.14143718)×2.91584020331026e-05×R²
    0.000191749999999935×2.91584020331026e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.91584020331026e-05×40589641000000     		ar = 35348.8988170336m²