Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5216 / 1247
↖ ↑ ↗
← N 77.166927°
E 49.218750°		 ← 1 085.35 m → N 77.166927°
E 49.262695°		 →
↑
1 085.75 m
↓
↑
1 085.75 m
↓
N 77.157163°
E 49.218750°		 ← 1 086.16 m →
1 178 850 m²		 N 77.157163°
E 49.262695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63677978515625 y=0.15228271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63677978515625 × 213)
    floor (0.63677978515625 × 8192)
    floor (5216.5)     		tx = 5216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15228271484375 × 213)
    floor (0.15228271484375 × 8192)
    floor (1247.5)     		ty = 1247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5216 / 1247 ti = "13/5216/1247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5216/1247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5216 ÷ 213
    5216 ÷ 8192     		x = 0.63671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1247 ÷ 213
    1247 ÷ 8192     		y = 0.1522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63671875 × 2 - 1) × π
    0.2734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85902924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1522216796875 × 2 - 1) × π
    0.695556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18515563228064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85902924} λ = 0.85902924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18515563228064))-π/2
    2×atan(8.89203233295969)-π/2
    2×1.45880663764205-π/2
    2.91761327528409-1.57079632675     		φ = 1.34681695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85902924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34681695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.166927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5216 KachelY 1247 0.85902924 1.34681695 49.218750 77.166927
    Oben rechts KachelX + 1 5217 KachelY 1247 0.85979623 1.34681695 49.262695 77.166927
    Unten links KachelX 5216 KachelY + 1 1248 0.85902924 1.34664653 49.218750 77.157163
    Unten rechts KachelX + 1 5217 KachelY + 1 1248 0.85979623 1.34664653 49.262695 77.157163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34681695-1.34664653) × R
    0.000170420000000115 × 6371000     		dl = 1085.74582000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34681695-1.34664653) × R
    0.000170420000000115 × 6371000     		dr = 1085.74582000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85902924-0.85979623) × cos(1.34681695) × R
    0.000766990000000023 × 0.222111348616814 × 6371000     		do = 1085.34561464895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85902924-0.85979623) × cos(1.34664653) × R
    0.000766990000000023 × 0.222277508521736 × 6371000     		du = 1086.15755390942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34681695)-sin(1.34664653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222111348616814-0.222277508521736)×R²
    abs(0.85979623-0.85902924)×0.00016615990492222×R²
    0.000766990000000023×0.00016615990492222×6371000²
    0.000766990000000023×0.00016615990492222×40589641000000     		ar = 1178850.24704357m²