Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52159 / 49983
↖ ↑ ↗
← S 68.267353°
E106.517944°		 ← 226.16 m → S 68.267353°
E106.523437°		 →
↑
226.17 m
↓
↑
226.17 m
↓
S 68.269387°
E106.517944°		 ← 226.14 m →
51 148 m²		 S 68.269387°
E106.523437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795890808105469 y=0.762687683105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795890808105469 × 216)
    floor (0.795890808105469 × 65536)
    floor (52159.5)     		tx = 52159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762687683105469 × 216)
    floor (0.762687683105469 × 65536)
    floor (49983.5)     		ty = 49983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52159 / 49983 ti = "16/52159/49983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52159/49983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52159 ÷ 216
    52159 ÷ 65536     		x = 0.795883178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49983 ÷ 216
    49983 ÷ 65536     		y = 0.762680053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795883178710938 × 2 - 1) × π
    0.591766357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.85908884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762680053710938 × 2 - 1) × π
    -0.525360107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65046745391853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85908884} λ = 1.85908884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65046745391853))-π/2
    2×atan(0.191960155117863)-π/2
    2×0.189653123476203-π/2
    0.379306246952406-1.57079632675     		φ = -1.19149008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85908884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.517944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19149008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.267353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52159 KachelY 49983 1.85908884 -1.19149008 106.517944 -68.267353
    Oben rechts KachelX + 1 52160 KachelY 49983 1.85918471 -1.19149008 106.523437 -68.267353
    Unten links KachelX 52159 KachelY + 1 49984 1.85908884 -1.19152558 106.517944 -68.269387
    Unten rechts KachelX + 1 52160 KachelY + 1 49984 1.85918471 -1.19152558 106.523437 -68.269387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19149008--1.19152558) × R
    3.55000000000771e-05 × 6371000     		dl = 226.170500000491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19149008--1.19152558) × R
    3.55000000000771e-05 × 6371000     		dr = 226.170500000491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85908884-1.85918471) × cos(-1.19149008) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370276116136462 × 6371000     		do = 226.160123259246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85908884-1.85918471) × cos(-1.19152558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370243139181402 × 6371000     		du = 226.139981338403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19149008)-sin(-1.19152558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370276116136462-0.370243139181402)×R²
    abs(1.85918471-1.85908884)×3.29769550599934e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29769550599934e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29769550599934e-05×40589641000000     		ar = 51148.4704090622m²