Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52149 / 49799
↖ ↑ ↗
← S 67.890019°
E106.463013°		 ← 229.92 m → S 67.890019°
E106.468506°		 →
↑
229.87 m
↓
↑
229.87 m
↓
S 67.892086°
E106.463013°		 ← 229.90 m →
52 847 m²		 S 67.892086°
E106.468506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795738220214844 y=0.759880065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795738220214844 × 216)
    floor (0.795738220214844 × 65536)
    floor (52149.5)     		tx = 52149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759880065917969 × 216)
    floor (0.759880065917969 × 65536)
    floor (49799.5)     		ty = 49799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52149 / 49799 ti = "16/52149/49799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52149/49799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52149 ÷ 216
    52149 ÷ 65536     		x = 0.795730590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49799 ÷ 216
    49799 ÷ 65536     		y = 0.759872436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795730590820312 × 2 - 1) × π
    0.591461181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.85813010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759872436523438 × 2 - 1) × π
    -0.519744873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63282667485835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85813010} λ = 1.85813010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63282667485835))-π/2
    2×atan(0.195376526936253)-π/2
    2×0.192945985765306-π/2
    0.385891971530611-1.57079632675     		φ = -1.18490436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85813010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.463013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18490436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.890019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52149 KachelY 49799 1.85813010 -1.18490436 106.463013 -67.890019
    Oben rechts KachelX + 1 52150 KachelY 49799 1.85822598 -1.18490436 106.468506 -67.890019
    Unten links KachelX 52149 KachelY + 1 49800 1.85813010 -1.18494044 106.463013 -67.892086
    Unten rechts KachelX + 1 52150 KachelY + 1 49800 1.85822598 -1.18494044 106.468506 -67.892086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18490436--1.18494044) × R
    3.60800000001049e-05 × 6371000     		dl = 229.865680000668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18490436--1.18494044) × R
    3.60800000001049e-05 × 6371000     		dr = 229.865680000668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85813010-1.85822598) × cos(-1.18490436) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.376385660667081 × 6371000     		do = 229.915737869646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85813010-1.85822598) × cos(-1.18494044) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.37635223363426 × 6371000     		du = 229.895318917175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18490436)-sin(-1.18494044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376385660667081-0.37635223363426)×R²
    abs(1.85822598-1.85813010)×3.3427032821387e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.3427032821387e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.3427032821387e-05×40589641000000     		ar = 52847.3906258659m²