Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5213 / 1250
↖ ↑ ↗
← N 77.137612°
E 49.086914°		 ← 1 087.78 m → N 77.137612°
E 49.130859°		 →
↑
1 088.17 m
↓
↑
1 088.17 m
↓
N 77.127826°
E 49.086914°		 ← 1 088.60 m →
1 184 132 m²		 N 77.127826°
E 49.130859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63641357421875 y=0.15264892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63641357421875 × 213)
    floor (0.63641357421875 × 8192)
    floor (5213.5)     		tx = 5213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15264892578125 × 213)
    floor (0.15264892578125 × 8192)
    floor (1250.5)     		ty = 1250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5213 / 1250 ti = "13/5213/1250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5213/1250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5213 ÷ 213
    5213 ÷ 8192     		x = 0.6363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1250 ÷ 213
    1250 ÷ 8192     		y = 0.152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6363525390625 × 2 - 1) × π
    0.272705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85672827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152587890625 × 2 - 1) × π
    0.69482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18285466109888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85672827} λ = 0.85672827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18285466109888))-π/2
    2×atan(8.87159554406223)-π/2
    2×1.45855081488398-π/2
    2.91710162976797-1.57079632675     		φ = 1.34630530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85672827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.086914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34630530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.137612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5213 KachelY 1250 0.85672827 1.34630530 49.086914 77.137612
    Oben rechts KachelX + 1 5214 KachelY 1250 0.85749526 1.34630530 49.130859 77.137612
    Unten links KachelX 5213 KachelY + 1 1251 0.85672827 1.34613450 49.086914 77.127826
    Unten rechts KachelX + 1 5214 KachelY + 1 1251 0.85749526 1.34613450 49.130859 77.127826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34630530-1.34613450) × R
    0.000170800000000026 × 6371000     		dl = 1088.16680000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34630530-1.34613450) × R
    0.000170800000000026 × 6371000     		dr = 1088.16680000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85672827-0.85749526) × cos(1.34630530) × R
    0.000766990000000023 × 0.22261018917391 × 6371000     		do = 1087.78319568397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85672827-0.85749526) × cos(1.34613450) × R
    0.000766990000000023 × 0.222776700133179 × 6371000     		du = 1088.59685036915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34630530)-sin(1.34613450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22261018917391-0.222776700133179)×R²
    abs(0.85749526-0.85672827)×0.000166510959269311×R²
    0.000766990000000023×0.000166510959269311×6371000²
    0.000766990000000023×0.000166510959269311×40589641000000     		ar = 1184132.25802709m²