Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5212 / 1263
↖ ↑ ↗
← N 77.009817°
E 49.042969°		 ← 1 098.41 m → N 77.009817°
E 49.086914°		 →
↑
1 098.81 m
↓
↑
1 098.81 m
↓
N 76.999935°
E 49.042969°		 ← 1 099.23 m →
1 207 387 m²		 N 76.999935°
E 49.086914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63629150390625 y=0.15423583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63629150390625 × 213)
    floor (0.63629150390625 × 8192)
    floor (5212.5)     		tx = 5212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15423583984375 × 213)
    floor (0.15423583984375 × 8192)
    floor (1263.5)     		ty = 1263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5212 / 1263 ti = "13/5212/1263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5212/1263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5212 ÷ 213
    5212 ÷ 8192     		x = 0.63623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1263 ÷ 213
    1263 ÷ 8192     		y = 0.1541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63623046875 × 2 - 1) × π
    0.2724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85596128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1541748046875 × 2 - 1) × π
    0.691650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17288378597791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85596128} λ = 0.85596128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17288378597791))-π/2
    2×atan(8.78357751039576)-π/2
    2×1.45743559505121-π/2
    2.91487119010243-1.57079632675     		φ = 1.34407486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85596128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34407486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.009817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5212 KachelY 1263 0.85596128 1.34407486 49.042969 77.009817
    Oben rechts KachelX + 1 5213 KachelY 1263 0.85672827 1.34407486 49.086914 77.009817
    Unten links KachelX 5212 KachelY + 1 1264 0.85596128 1.34390239 49.042969 76.999935
    Unten rechts KachelX + 1 5213 KachelY + 1 1264 0.85672827 1.34390239 49.086914 76.999935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34407486-1.34390239) × R
    0.000172470000000091 × 6371000     		dl = 1098.80637000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34407486-1.34390239) × R
    0.000172470000000091 × 6371000     		dr = 1098.80637000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85596128-0.85672827) × cos(1.34407486) × R
    0.000766989999999912 × 0.224784106408149 × 6371000     		do = 1098.40602766194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85596128-0.85672827) × cos(1.34390239) × R
    0.000766989999999912 × 0.224952159314094 × 6371000     		du = 1099.22721705921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34407486)-sin(1.34390239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224784106408149-0.224952159314094)×R²
    abs(0.85672827-0.85596128)×0.000168052905945126×R²
    0.000766989999999912×0.000168052905945126×6371000²
    0.000766989999999912×0.000168052905945126×40589641000000     		ar = 1207386.70710441m²