Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5212 / 1255
↖ ↑ ↗
← N 77.088607°
E 49.042969°		 ← 1 091.86 m → N 77.088607°
E 49.086914°		 →
↑
1 092.31 m
↓
↑
1 092.31 m
↓
N 77.078784°
E 49.042969°		 ← 1 092.67 m →
1 193 090 m²		 N 77.078784°
E 49.086914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63629150390625 y=0.15325927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63629150390625 × 213)
    floor (0.63629150390625 × 8192)
    floor (5212.5)     		tx = 5212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15325927734375 × 213)
    floor (0.15325927734375 × 8192)
    floor (1255.5)     		ty = 1255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5212 / 1255 ti = "13/5212/1255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5212/1255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5212 ÷ 213
    5212 ÷ 8192     		x = 0.63623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1255 ÷ 213
    1255 ÷ 8192     		y = 0.1531982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63623046875 × 2 - 1) × π
    0.2724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85596128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1531982421875 × 2 - 1) × π
    0.693603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17901970912927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85596128} λ = 0.85596128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17901970912927))-π/2
    2×atan(8.83763855458553)-π/2
    2×1.45812316631807-π/2
    2.91624633263615-1.57079632675     		φ = 1.34545001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85596128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34545001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.088607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5212 KachelY 1255 0.85596128 1.34545001 49.042969 77.088607
    Oben rechts KachelX + 1 5213 KachelY 1255 0.85672827 1.34545001 49.086914 77.088607
    Unten links KachelX 5212 KachelY + 1 1256 0.85596128 1.34527856 49.042969 77.078784
    Unten rechts KachelX + 1 5213 KachelY + 1 1256 0.85672827 1.34527856 49.086914 77.078784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34545001-1.34527856) × R
    0.000171450000000073 × 6371000     		dl = 1092.30795000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34545001-1.34527856) × R
    0.000171450000000073 × 6371000     		dr = 1092.30795000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85596128-0.85672827) × cos(1.34545001) × R
    0.000766989999999912 × 0.223443936316675 × 6371000     		do = 1091.85729550249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85596128-0.85672827) × cos(1.34527856) × R
    0.000766989999999912 × 0.223611048224246 × 6371000     		du = 1092.67388671752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34545001)-sin(1.34527856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223443936316675-0.223611048224246)×R²
    abs(0.85672827-0.85596128)×0.000167111907570988×R²
    0.000766989999999912×0.000167111907570988×6371000²
    0.000766989999999912×0.000167111907570988×40589641000000     		ar = 1193090.39160378m²