Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52117 / 48793
↖ ↑ ↗
← S 65.714817°
E106.287231°		 ← 251.23 m → S 65.714817°
E106.292725°		 →
↑
251.21 m
↓
↑
251.21 m
↓
S 65.717076°
E106.287231°		 ← 251.21 m →
63 108 m²		 S 65.717076°
E106.292725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795249938964844 y=0.744529724121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795249938964844 × 216)
    floor (0.795249938964844 × 65536)
    floor (52117.5)     		tx = 52117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744529724121094 × 216)
    floor (0.744529724121094 × 65536)
    floor (48793.5)     		ty = 48793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52117 / 48793 ti = "16/52117/48793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52117/48793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52117 ÷ 216
    52117 ÷ 65536     		x = 0.795242309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48793 ÷ 216
    48793 ÷ 65536     		y = 0.744522094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795242309570312 × 2 - 1) × π
    0.590484619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.85506214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744522094726562 × 2 - 1) × π
    -0.489044189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5363776328228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85506214} λ = 1.85506214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5363776328228))-π/2
    2×atan(0.215159076697555)-π/2
    2×0.211928203314918-π/2
    0.423856406629836-1.57079632675     		φ = -1.14693992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85506214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.287231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14693992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.714817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52117 KachelY 48793 1.85506214 -1.14693992 106.287231 -65.714817
    Oben rechts KachelX + 1 52118 KachelY 48793 1.85515802 -1.14693992 106.292725 -65.714817
    Unten links KachelX 52117 KachelY + 1 48794 1.85506214 -1.14697935 106.287231 -65.717076
    Unten rechts KachelX + 1 52118 KachelY + 1 48794 1.85515802 -1.14697935 106.292725 -65.717076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14693992--1.14697935) × R
    3.94300000001735e-05 × 6371000     		dl = 251.208530001105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14693992--1.14697935) × R
    3.94300000001735e-05 × 6371000     		dr = 251.208530001105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85506214-1.85515802) × cos(-1.14693992) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.411278654648277 × 6371000     		do = 251.230174884144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85506214-1.85515802) × cos(-1.14697935) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.411242713502508 × 6371000     		du = 251.208220182058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14693992)-sin(-1.14697935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411278654648277-0.411242713502508)×R²
    abs(1.85515802-1.85506214)×3.59411457693803e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.59411457693803e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.59411457693803e-05×40589641000000     		ar = 63108.4053287657m²