Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52113 / 48791
↖ ↑ ↗
← S 65.710298°
E106.265259°		 ← 251.25 m → S 65.710298°
E106.270752°		 →
↑
251.27 m
↓
↑
251.27 m
↓
S 65.712558°
E106.265259°		 ← 251.23 m →
63 129 m²		 S 65.712558°
E106.270752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795188903808594 y=0.744499206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795188903808594 × 216)
    floor (0.795188903808594 × 65536)
    floor (52113.5)     		tx = 52113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744499206542969 × 216)
    floor (0.744499206542969 × 65536)
    floor (48791.5)     		ty = 48791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52113 / 48791 ti = "16/52113/48791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52113/48791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52113 ÷ 216
    52113 ÷ 65536     		x = 0.795181274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48791 ÷ 216
    48791 ÷ 65536     		y = 0.744491577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795181274414062 × 2 - 1) × π
    0.590362548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.85467865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744491577148438 × 2 - 1) × π
    -0.488983154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53618588522432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85467865} λ = 1.85467865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53618588522432))-π/2
    2×atan(0.215200336889448)-π/2
    2×0.211967637608089-π/2
    0.423935275216177-1.57079632675     		φ = -1.14686105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85467865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.265259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14686105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.710298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52113 KachelY 48791 1.85467865 -1.14686105 106.265259 -65.710298
    Oben rechts KachelX + 1 52114 KachelY 48791 1.85477452 -1.14686105 106.270752 -65.710298
    Unten links KachelX 52113 KachelY + 1 48792 1.85467865 -1.14690049 106.265259 -65.712558
    Unten rechts KachelX + 1 52114 KachelY + 1 48792 1.85477452 -1.14690049 106.270752 -65.712558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14686105--1.14690049) × R
    3.94399999998907e-05 × 6371000     		dl = 251.272239999303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14686105--1.14690049) × R
    3.94399999998907e-05 × 6371000     		dr = 251.272239999303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85467865-1.85477452) × cos(-1.14686105) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411350544136256 × 6371000     		do = 251.247881541265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85467865-1.85477452) × cos(-1.14690049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411314595154621 × 6371000     		du = 251.225924342938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14686105)-sin(-1.14690049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411350544136256-0.411314595154621)×R²
    abs(1.85477452-1.85467865)×3.59489816351699e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59489816351699e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59489816351699e-05×40589641000000     		ar = 63128.8593806242m²