Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52112 / 48795
↖ ↑ ↗
← S 65.719335°
E106.259765°		 ← 251.19 m → S 65.719335°
E106.265259°		 →
↑
251.21 m
↓
↑
251.21 m
↓
S 65.721594°
E106.259765°		 ← 251.16 m →
63 097 m²		 S 65.721594°
E106.265259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795173645019531 y=0.744560241699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795173645019531 × 216)
    floor (0.795173645019531 × 65536)
    floor (52112.5)     		tx = 52112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744560241699219 × 216)
    floor (0.744560241699219 × 65536)
    floor (48795.5)     		ty = 48795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52112 / 48795 ti = "16/52112/48795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52112/48795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52112 ÷ 216
    52112 ÷ 65536     		x = 0.795166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48795 ÷ 216
    48795 ÷ 65536     		y = 0.744552612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795166015625 × 2 - 1) × π
    0.59033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.85458277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744552612304688 × 2 - 1) × π
    -0.489105224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53656938042128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85458277} λ = 1.85458277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53656938042128))-π/2
    2×atan(0.215117824416447)-π/2
    2×0.211888775913463-π/2
    0.423777551826926-1.57079632675     		φ = -1.14701877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85458277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.259765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14701877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.719335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52112 KachelY 48795 1.85458277 -1.14701877 106.259765 -65.719335
    Oben rechts KachelX + 1 52113 KachelY 48795 1.85467865 -1.14701877 106.265259 -65.719335
    Unten links KachelX 52112 KachelY + 1 48796 1.85458277 -1.14705820 106.259765 -65.721594
    Unten rechts KachelX + 1 52113 KachelY + 1 48796 1.85467865 -1.14705820 106.265259 -65.721594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14701877--1.14705820) × R
    3.94299999999514e-05 × 6371000     		dl = 251.208529999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14701877--1.14705820) × R
    3.94299999999514e-05 × 6371000     		dr = 251.208529999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85458277-1.85467865) × cos(-1.14701877) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.41120678083279 × 6371000     		do = 251.186270658162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85458277-1.85467865) × cos(-1.14705820) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.4111708384085 × 6371000     		du = 251.16431517509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14701877)-sin(-1.14705820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41120678083279-0.4111708384085)×R²
    abs(1.85467865-1.85458277)×3.59424242897255e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.59424242897255e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.59424242897255e-05×40589641000000     		ar = 63097.3761139589m²