Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5211 / 1259
↖ ↑ ↗
← N 77.049271°
E 48.999023°		 ← 1 095.13 m → N 77.049271°
E 49.042969°		 →
↑
1 095.49 m
↓
↑
1 095.49 m
↓
N 77.039419°
E 48.999023°		 ← 1 095.95 m →
1 200 153 m²		 N 77.039419°
E 49.042969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63616943359375 y=0.15374755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63616943359375 × 213)
    floor (0.63616943359375 × 8192)
    floor (5211.5)     		tx = 5211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15374755859375 × 213)
    floor (0.15374755859375 × 8192)
    floor (1259.5)     		ty = 1259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5211 / 1259 ti = "13/5211/1259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5211/1259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5211 ÷ 213
    5211 ÷ 8192     		x = 0.6361083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1259 ÷ 213
    1259 ÷ 8192     		y = 0.1536865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6361083984375 × 2 - 1) × π
    0.272216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85519429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1536865234375 × 2 - 1) × π
    0.692626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17595174755359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85519429} λ = 0.85519429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17595174755359))-π/2
    2×atan(8.81056656822159)-π/2
    2×1.45777989463037-π/2
    2.91555978926073-1.57079632675     		φ = 1.34476346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85519429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.999023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34476346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.049271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5211 KachelY 1259 0.85519429 1.34476346 48.999023 77.049271
    Oben rechts KachelX + 1 5212 KachelY 1259 0.85596128 1.34476346 49.042969 77.049271
    Unten links KachelX 5211 KachelY + 1 1260 0.85519429 1.34459151 48.999023 77.039419
    Unten rechts KachelX + 1 5212 KachelY + 1 1260 0.85596128 1.34459151 49.042969 77.039419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34476346-1.34459151) × R
    0.000171949999999921 × 6371000     		dl = 1095.4934499995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34476346-1.34459151) × R
    0.000171949999999921 × 6371000     		dr = 1095.4934499995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85519429-0.85596128) × cos(1.34476346) × R
    0.000766990000000023 × 0.224113075411317 × 6371000     		do = 1095.1270391987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85519429-0.85596128) × cos(1.34459151) × R
    0.000766990000000023 × 0.224280648230635 × 6371000     		du = 1095.94588265588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34476346)-sin(1.34459151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224113075411317-0.224280648230635)×R²
    abs(0.85596128-0.85519429)×0.000167572819318368×R²
    0.000766990000000023×0.000167572819318368×6371000²
    0.000766990000000023×0.000167572819318368×40589641000000     		ar = 1200153.02013843m²