Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52109 / 49069
↖ ↑ ↗
← S 66.330890°
E106.243286°		 ← 245.20 m → S 66.330890°
E106.248779°		 →
↑
245.22 m
↓
↑
245.22 m
↓
S 66.333096°
E106.243286°		 ← 245.18 m →
60 126 m²		 S 66.333096°
E106.248779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795127868652344 y=0.748741149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795127868652344 × 216)
    floor (0.795127868652344 × 65536)
    floor (52109.5)     		tx = 52109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748741149902344 × 216)
    floor (0.748741149902344 × 65536)
    floor (49069.5)     		ty = 49069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52109 / 49069 ti = "16/52109/49069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52109/49069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52109 ÷ 216
    52109 ÷ 65536     		x = 0.795120239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49069 ÷ 216
    49069 ÷ 65536     		y = 0.748733520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795120239257812 × 2 - 1) × π
    0.590240478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.85429515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748733520507812 × 2 - 1) × π
    -0.497467041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56283880141307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85429515} λ = 1.85429515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56283880141307))-π/2
    2×atan(0.209540382545845)-π/2
    2×0.206551949112291-π/2
    0.413103898224582-1.57079632675     		φ = -1.15769243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85429515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.243286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15769243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.330890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52109 KachelY 49069 1.85429515 -1.15769243 106.243286 -66.330890
    Oben rechts KachelX + 1 52110 KachelY 49069 1.85439102 -1.15769243 106.248779 -66.330890
    Unten links KachelX 52109 KachelY + 1 49070 1.85429515 -1.15773092 106.243286 -66.333096
    Unten rechts KachelX + 1 52110 KachelY + 1 49070 1.85439102 -1.15773092 106.248779 -66.333096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15769243--1.15773092) × R
    3.84900000001132e-05 × 6371000     		dl = 245.219790000721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15769243--1.15773092) × R
    3.84900000001132e-05 × 6371000     		dr = 245.219790000721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85429515-1.85439102) × cos(-1.15769243) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401454051661515 × 6371000     		do = 245.203224971796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85429515-1.85439102) × cos(-1.15773092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401418799175099 × 6371000     		du = 245.181693184231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15769243)-sin(-1.15773092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401454051661515-0.401418799175099)×R²
    abs(1.85439102-1.85429515)×3.52524864153381e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52524864153381e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52524864153381e-05×40589641000000     		ar = 60126.0433321908m²