Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52107 / 49068
↖ ↑ ↗
← S 66.328685°
E106.232300°		 ← 245.25 m → S 66.328685°
E106.237793°		 →
↑
245.22 m
↓
↑
245.22 m
↓
S 66.330890°
E106.232300°		 ← 245.23 m →
60 138 m²		 S 66.330890°
E106.237793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795097351074219 y=0.748725891113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795097351074219 × 216)
    floor (0.795097351074219 × 65536)
    floor (52107.5)     		tx = 52107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748725891113281 × 216)
    floor (0.748725891113281 × 65536)
    floor (49068.5)     		ty = 49068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52107 / 49068 ti = "16/52107/49068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52107/49068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52107 ÷ 216
    52107 ÷ 65536     		x = 0.795089721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49068 ÷ 216
    49068 ÷ 65536     		y = 0.74871826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795089721679688 × 2 - 1) × π
    0.590179443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.85410340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74871826171875 × 2 - 1) × π
    -0.4974365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56274292761383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85410340} λ = 1.85410340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56274292761383))-π/2
    2×atan(0.20956047294147)-π/2
    2×0.206571194419867-π/2
    0.413142388839734-1.57079632675     		φ = -1.15765394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85410340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.232300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15765394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.328685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52107 KachelY 49068 1.85410340 -1.15765394 106.232300 -66.328685
    Oben rechts KachelX + 1 52108 KachelY 49068 1.85419928 -1.15765394 106.237793 -66.328685
    Unten links KachelX 52107 KachelY + 1 49069 1.85410340 -1.15769243 106.232300 -66.330890
    Unten rechts KachelX + 1 52108 KachelY + 1 49069 1.85419928 -1.15769243 106.237793 -66.330890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15765394--1.15769243) × R
    3.84899999998911e-05 × 6371000     		dl = 245.219789999306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15765394--1.15769243) × R
    3.84899999998911e-05 × 6371000     		dr = 245.219789999306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85410340-1.85419928) × cos(-1.15765394) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.401489303553184 × 6371000     		do = 245.250335279471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85410340-1.85419928) × cos(-1.15769243) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.401454051661515 × 6371000     		du = 245.228801609272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15765394)-sin(-1.15769243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401489303553184-0.401454051661515)×R²
    abs(1.85419928-1.85410340)×3.52518916689193e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.52518916689193e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.52518916689193e-05×40589641000000     		ar = 60137.5954810462m²