Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 521 / 1571
↖ ↑ ↗
← N 38.616871°
W134.208984°		 ← 7 635.99 m → N 38.616871°
W134.121094°		 →
↑
7 639.66 m
↓
↑
7 639.66 m
↓
N 38.548166°
W134.208984°		 ← 7 643.30 m →
58 364 297 m²		 N 38.548166°
W134.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1273193359375 y=0.3836669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1273193359375 × 212)
    floor (0.1273193359375 × 4096)
    floor (521.5)     		tx = 521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3836669921875 × 212)
    floor (0.3836669921875 × 4096)
    floor (1571.5)     		ty = 1571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 521 / 1571 ti = "12/521/1571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/521/1571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 521 ÷ 212
    521 ÷ 4096     		x = 0.127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1571 ÷ 212
    1571 ÷ 4096     		y = 0.383544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.74560546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34238866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383544921875 × 2 - 1) × π
    0.23291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.731708835800537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34238866} λ = -2.34238866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.731708835800537))-π/2
    2×atan(2.07862961117401)-π/2
    2×1.12239393159514-π/2
    2.24478786319028-1.57079632675     		φ = 0.67399154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34238866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.208984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67399154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.616871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 521 KachelY 1571 -2.34238866 0.67399154 -134.208984 38.616871
    Oben rechts KachelX + 1 522 KachelY 1571 -2.34085468 0.67399154 -134.121094 38.616871
    Unten links KachelX 521 KachelY + 1 1572 -2.34238866 0.67279241 -134.208984 38.548166
    Unten rechts KachelX + 1 522 KachelY + 1 1572 -2.34085468 0.67279241 -134.121094 38.548166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67399154-0.67279241) × R
    0.00119912999999994 × 6371000     		dl = 7639.6572299996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67399154-0.67279241) × R
    0.00119912999999994 × 6371000     		dr = 7639.6572299996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34238866--2.34085468) × cos(0.67399154) × R
    0.00153398000000005 × 0.781336737987498 × 6371000     		do = 7635.99345481302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34238866--2.34085468) × cos(0.67279241) × R
    0.00153398000000005 × 0.782084564710599 × 6371000     		du = 7643.30195534205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67399154)-sin(0.67279241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.781336737987498-0.782084564710599)×R²
    abs(-2.34085468--2.34238866)×0.000747826723100697×R²
    0.00153398000000005×0.000747826723100697×6371000²
    0.00153398000000005×0.000747826723100697×40589641000000     		ar = 58364296.8183109m²