Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52093 / 49803
↖ ↑ ↗
← S 67.898287°
E106.155395°		 ← 229.81 m → S 67.898287°
E106.160888°		 →
↑
229.80 m
↓
↑
229.80 m
↓
S 67.900354°
E106.155395°		 ← 229.79 m →
52 808 m²		 S 67.900354°
E106.160888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794883728027344 y=0.759941101074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794883728027344 × 216)
    floor (0.794883728027344 × 65536)
    floor (52093.5)     		tx = 52093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759941101074219 × 216)
    floor (0.759941101074219 × 65536)
    floor (49803.5)     		ty = 49803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52093 / 49803 ti = "16/52093/49803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52093/49803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52093 ÷ 216
    52093 ÷ 65536     		x = 0.794876098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49803 ÷ 216
    49803 ÷ 65536     		y = 0.759933471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794876098632812 × 2 - 1) × π
    0.589752197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.85276117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759933471679688 × 2 - 1) × π
    -0.519866943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63321017005531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85276117} λ = 1.85276117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63321017005531))-π/2
    2×atan(0.195301615341611)-π/2
    2×0.192873827537636-π/2
    0.385747655075272-1.57079632675     		φ = -1.18504867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85276117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.155395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18504867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.898287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52093 KachelY 49803 1.85276117 -1.18504867 106.155395 -67.898287
    Oben rechts KachelX + 1 52094 KachelY 49803 1.85285704 -1.18504867 106.160888 -67.898287
    Unten links KachelX 52093 KachelY + 1 49804 1.85276117 -1.18508474 106.155395 -67.900354
    Unten rechts KachelX + 1 52094 KachelY + 1 49804 1.85285704 -1.18508474 106.160888 -67.900354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18504867--1.18508474) × R
    3.60699999999436e-05 × 6371000     		dl = 229.801969999641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18504867--1.18508474) × R
    3.60699999999436e-05 × 6371000     		dr = 229.801969999641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85276117-1.85285704) × cos(-1.18504867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.376251958861608 × 6371000     		do = 229.810094911208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85276117-1.85285704) × cos(-1.18508474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.376218539134802 × 6371000     		du = 229.789682550799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18504867)-sin(-1.18508474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376251958861608-0.376218539134802)×R²
    abs(1.85285704-1.85276117)×3.34197268055392e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34197268055392e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34197268055392e-05×40589641000000     		ar = 52808.4671419423m²