Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52088 / 49526
↖ ↑ ↗
← S 67.318688°
E106.127930°		 ← 235.55 m → S 67.318688°
E106.133423°		 →
↑
235.54 m
↓
↑
235.54 m
↓
S 67.320807°
E106.127930°		 ← 235.53 m →
55 477 m²		 S 67.320807°
E106.133423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794807434082031 y=0.755714416503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794807434082031 × 216)
    floor (0.794807434082031 × 65536)
    floor (52088.5)     		tx = 52088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755714416503906 × 216)
    floor (0.755714416503906 × 65536)
    floor (49526.5)     		ty = 49526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52088 / 49526 ti = "16/52088/49526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52088/49526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52088 ÷ 216
    52088 ÷ 65536     		x = 0.7947998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49526 ÷ 216
    49526 ÷ 65536     		y = 0.755706787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7947998046875 × 2 - 1) × π
    0.589599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.85228180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755706787109375 × 2 - 1) × π
    -0.51141357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6066531276658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85228180} λ = 1.85228180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6066531276658))-π/2
    2×atan(0.200557733176651)-π/2
    2×0.197931784185625-π/2
    0.395863568371251-1.57079632675     		φ = -1.17493276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85228180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.127930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17493276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.318688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52088 KachelY 49526 1.85228180 -1.17493276 106.127930 -67.318688
    Oben rechts KachelX + 1 52089 KachelY 49526 1.85237768 -1.17493276 106.133423 -67.318688
    Unten links KachelX 52088 KachelY + 1 49527 1.85228180 -1.17496973 106.127930 -67.320807
    Unten rechts KachelX + 1 52089 KachelY + 1 49527 1.85237768 -1.17496973 106.133423 -67.320807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17493276--1.17496973) × R
    3.6970000000025e-05 × 6371000     		dl = 235.53587000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17493276--1.17496973) × R
    3.6970000000025e-05 × 6371000     		dr = 235.53587000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85228180-1.85237768) × cos(-1.17493276) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.38560511440908 × 6371000     		do = 235.547454832201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85228180-1.85237768) × cos(-1.17496973) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.385571003260717 × 6371000     		du = 235.526617986739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17493276)-sin(-1.17496973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38560511440908-0.385571003260717)×R²
    abs(1.85237768-1.85228180)×3.41111483624923e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.41111483624923e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.41111483624923e-05×40589641000000     		ar = 55477.4207943298m²