Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52087 / 49686
↖ ↑ ↗
← S 67.655210°
E106.122437°		 ← 232.21 m → S 67.655210°
E106.127930°		 →
↑
232.22 m
↓
↑
232.22 m
↓
S 67.657298°
E106.122437°		 ← 232.19 m →
53 922 m²		 S 67.657298°
E106.127930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794792175292969 y=0.758155822753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794792175292969 × 216)
    floor (0.794792175292969 × 65536)
    floor (52087.5)     		tx = 52087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758155822753906 × 216)
    floor (0.758155822753906 × 65536)
    floor (49686.5)     		ty = 49686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52087 / 49686 ti = "16/52087/49686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52087/49686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52087 ÷ 216
    52087 ÷ 65536     		x = 0.794784545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49686 ÷ 216
    49686 ÷ 65536     		y = 0.758148193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794784545898438 × 2 - 1) × π
    0.589569091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.85218593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758148193359375 × 2 - 1) × π
    -0.51629638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62199293554422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85218593} λ = 1.85218593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62199293554422))-π/2
    2×atan(0.197504692477351)-π/2
    2×0.194995078390627-π/2
    0.389990156781255-1.57079632675     		φ = -1.18080617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85218593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.122437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18080617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.655210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52087 KachelY 49686 1.85218593 -1.18080617 106.122437 -67.655210
    Oben rechts KachelX + 1 52088 KachelY 49686 1.85228180 -1.18080617 106.127930 -67.655210
    Unten links KachelX 52087 KachelY + 1 49687 1.85218593 -1.18084262 106.122437 -67.657298
    Unten rechts KachelX + 1 52088 KachelY + 1 49687 1.85228180 -1.18084262 106.127930 -67.657298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18080617--1.18084262) × R
    3.64499999998547e-05 × 6371000     		dl = 232.222949999074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18080617--1.18084262) × R
    3.64499999998547e-05 × 6371000     		dr = 232.222949999074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85218593-1.85228180) × cos(-1.18080617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380179311035165 × 6371000     		do = 232.2088735873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85218593-1.85228180) × cos(-1.18084262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380145597710983 × 6371000     		du = 232.188281901204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18080617)-sin(-1.18084262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380179311035165-0.380145597710983)×R²
    abs(1.85228180-1.85218593)×3.37133241819498e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37133241819498e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37133241819498e-05×40589641000000     		ar = 53921.8387153562m²