Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52080 / 49494
↖ ↑ ↗
← S 67.250810°
E106.083984°		 ← 236.19 m → S 67.250810°
E106.089477°		 →
↑
236.17 m
↓
↑
236.17 m
↓
S 67.252934°
E106.083984°		 ← 236.17 m →
55 779 m²		 S 67.252934°
E106.089477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794685363769531 y=0.755226135253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794685363769531 × 216)
    floor (0.794685363769531 × 65536)
    floor (52080.5)     		tx = 52080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755226135253906 × 216)
    floor (0.755226135253906 × 65536)
    floor (49494.5)     		ty = 49494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52080 / 49494 ti = "16/52080/49494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52080/49494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52080 ÷ 216
    52080 ÷ 65536     		x = 0.794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49494 ÷ 216
    49494 ÷ 65536     		y = 0.755218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794677734375 × 2 - 1) × π
    0.58935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.85151481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.51043701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60358516609012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85151481} λ = 1.85151481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60358516609012))-π/2
    2×atan(0.201173981425353)-π/2
    2×0.198524132871204-π/2
    0.397048265742408-1.57079632675     		φ = -1.17374806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85151481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.083984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17374806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.250810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52080 KachelY 49494 1.85151481 -1.17374806 106.083984 -67.250810
    Oben rechts KachelX + 1 52081 KachelY 49494 1.85161068 -1.17374806 106.089477 -67.250810
    Unten links KachelX 52080 KachelY + 1 49495 1.85151481 -1.17378513 106.083984 -67.252934
    Unten rechts KachelX + 1 52081 KachelY + 1 49495 1.85161068 -1.17378513 106.089477 -67.252934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17374806--1.17378513) × R
    3.70699999998614e-05 × 6371000     		dl = 236.172969999117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17374806--1.17378513) × R
    3.70699999998614e-05 × 6371000     		dr = 236.172969999117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85151481-1.85161068) × cos(-1.17374806) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.386697923489652 × 6371000     		do = 236.19036235187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85151481-1.85161068) × cos(-1.17378513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.386663737031272 × 6371000     		du = 236.169481681192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17374806)-sin(-1.17378513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386697923489652-0.386663737031272)×R²
    abs(1.85161068-1.85151481)×3.41864583796592e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.41864583796592e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.41864583796592e-05×40589641000000     		ar = 55779.3136433276m²