Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52078 / 49492
↖ ↑ ↗
← S 67.246562°
E106.072998°		 ← 236.26 m → S 67.246562°
E106.078491°		 →
↑
236.24 m
↓
↑
236.24 m
↓
S 67.248686°
E106.072998°		 ← 236.24 m →
55 810 m²		 S 67.248686°
E106.078491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794654846191406 y=0.755195617675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794654846191406 × 216)
    floor (0.794654846191406 × 65536)
    floor (52078.5)     		tx = 52078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755195617675781 × 216)
    floor (0.755195617675781 × 65536)
    floor (49492.5)     		ty = 49492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52078 / 49492 ti = "16/52078/49492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52078/49492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52078 ÷ 216
    52078 ÷ 65536     		x = 0.794647216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49492 ÷ 216
    49492 ÷ 65536     		y = 0.75518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794647216796875 × 2 - 1) × π
    0.58929443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.85132306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.5103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60339341849164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85132306} λ = 1.85132306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60339341849164))-π/2
    2×atan(0.201212559751701)-π/2
    2×0.198561210348285-π/2
    0.397122420696569-1.57079632675     		φ = -1.17367391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85132306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.072998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17367391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.246562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52078 KachelY 49492 1.85132306 -1.17367391 106.072998 -67.246562
    Oben rechts KachelX + 1 52079 KachelY 49492 1.85141894 -1.17367391 106.078491 -67.246562
    Unten links KachelX 52078 KachelY + 1 49493 1.85132306 -1.17371099 106.072998 -67.248686
    Unten rechts KachelX + 1 52079 KachelY + 1 49493 1.85141894 -1.17371099 106.078491 -67.248686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17367391--1.17371099) × R
    3.70800000000227e-05 × 6371000     		dl = 236.236680000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17367391--1.17371099) × R
    3.70800000000227e-05 × 6371000     		dr = 236.236680000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85132306-1.85141894) × cos(-1.17367391) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.386766304033959 × 6371000     		do = 236.256769233666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85132306-1.85141894) × cos(-1.17371099) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.386732109416638 × 6371000     		du = 236.235881401067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17367391)-sin(-1.17371099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386766304033959-0.386732109416638)×R²
    abs(1.85141894-1.85132306)×3.41946173216257e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.41946173216257e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.41946173216257e-05×40589641000000     		ar = 55810.0475611913m²