Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52075 / 49919
↖ ↑ ↗
← S 68.136806°
E106.056518°		 ← 227.48 m → S 68.136806°
E106.062012°		 →
↑
227.44 m
↓
↑
227.44 m
↓
S 68.138852°
E106.056518°		 ← 227.46 m →
51 736 m²		 S 68.138852°
E106.062012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794609069824219 y=0.761711120605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794609069824219 × 216)
    floor (0.794609069824219 × 65536)
    floor (52075.5)     		tx = 52075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761711120605469 × 216)
    floor (0.761711120605469 × 65536)
    floor (49919.5)     		ty = 49919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52075 / 49919 ti = "16/52075/49919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52075/49919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52075 ÷ 216
    52075 ÷ 65536     		x = 0.794601440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49919 ÷ 216
    49919 ÷ 65536     		y = 0.761703491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794601440429688 × 2 - 1) × π
    0.589202880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.85103544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761703491210938 × 2 - 1) × π
    -0.523406982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64433153076717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85103544} λ = 1.85103544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64433153076717))-π/2
    2×atan(0.19314162888709)-π/2
    2×0.190792359010616-π/2
    0.381584718021233-1.57079632675     		φ = -1.18921161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85103544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.056518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18921161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.136806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52075 KachelY 49919 1.85103544 -1.18921161 106.056518 -68.136806
    Oben rechts KachelX + 1 52076 KachelY 49919 1.85113132 -1.18921161 106.062012 -68.136806
    Unten links KachelX 52075 KachelY + 1 49920 1.85103544 -1.18924731 106.056518 -68.138852
    Unten rechts KachelX + 1 52076 KachelY + 1 49920 1.85113132 -1.18924731 106.062012 -68.138852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18921161--1.18924731) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dl = 227.444699999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18921161--1.18924731) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dr = 227.444699999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85103544-1.85113132) × cos(-1.18921161) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.372391673490576 × 6371000     		do = 227.476004891246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85103544-1.85113132) × cos(-1.18924731) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.372358540952008 × 6371000     		du = 227.455765831026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18921161)-sin(-1.18924731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372391673490576-0.372358540952008)×R²
    abs(1.85113132-1.85103544)×3.31325385679593e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.31325385679593e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.31325385679593e-05×40589641000000     		ar = 51735.9100616232m²