Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52070 / 49801
↖ ↑ ↗
← S 67.894153°
E106.029053°		 ← 229.87 m → S 67.894153°
E106.034546°		 →
↑
229.87 m
↓
↑
229.87 m
↓
S 67.896221°
E106.029053°		 ← 229.85 m →
52 838 m²		 S 67.896221°
E106.034546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794532775878906 y=0.759910583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794532775878906 × 216)
    floor (0.794532775878906 × 65536)
    floor (52070.5)     		tx = 52070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759910583496094 × 216)
    floor (0.759910583496094 × 65536)
    floor (49801.5)     		ty = 49801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52070 / 49801 ti = "16/52070/49801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52070/49801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52070 ÷ 216
    52070 ÷ 65536     		x = 0.794525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49801 ÷ 216
    49801 ÷ 65536     		y = 0.759902954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794525146484375 × 2 - 1) × π
    0.58905029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.85055607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759902954101562 × 2 - 1) × π
    -0.519805908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63301842245683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85055607} λ = 1.85055607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63301842245683))-π/2
    2×atan(0.195339067547902)-π/2
    2×0.192909903446703-π/2
    0.385819806893405-1.57079632675     		φ = -1.18497652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85055607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.029053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18497652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.894153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52070 KachelY 49801 1.85055607 -1.18497652 106.029053 -67.894153
    Oben rechts KachelX + 1 52071 KachelY 49801 1.85065195 -1.18497652 106.034546 -67.894153
    Unten links KachelX 52070 KachelY + 1 49802 1.85055607 -1.18501260 106.029053 -67.896221
    Unten rechts KachelX + 1 52071 KachelY + 1 49802 1.85065195 -1.18501260 106.034546 -67.896221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18497652--1.18501260) × R
    3.60800000001049e-05 × 6371000     		dl = 229.865680000668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18497652--1.18501260) × R
    3.60800000001049e-05 × 6371000     		dr = 229.865680000668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85055607-1.85065195) × cos(-1.18497652) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.376318806111516 × 6371000     		do = 229.874899664902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85055607-1.85065195) × cos(-1.18501260) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.376285378098893 × 6371000     		du = 229.854480113918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18497652)-sin(-1.18501260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376318806111516-0.376285378098893)×R²
    abs(1.85065195-1.85055607)×3.34280126232378e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.34280126232378e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.34280126232378e-05×40589641000000     		ar = 52838.0032553314m²