Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52064 / 49824
↖ ↑ ↗
← S 67.941650°
E105.996094°		 ← 229.38 m → S 67.941650°
E106.001587°		 →
↑
229.42 m
↓
↑
229.42 m
↓
S 67.943713°
E105.996094°		 ← 229.36 m →
52 622 m²		 S 67.943713°
E106.001587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794441223144531 y=0.760261535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794441223144531 × 216)
    floor (0.794441223144531 × 65536)
    floor (52064.5)     		tx = 52064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760261535644531 × 216)
    floor (0.760261535644531 × 65536)
    floor (49824.5)     		ty = 49824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52064 / 49824 ti = "16/52064/49824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52064/49824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52064 ÷ 216
    52064 ÷ 65536     		x = 0.79443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49824 ÷ 216
    49824 ÷ 65536     		y = 0.76025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79443359375 × 2 - 1) × π
    0.5888671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.84998083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76025390625 × 2 - 1) × π
    -0.5205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63522351983936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84998083} λ = 1.84998083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63522351983936))-π/2
    2×atan(0.194908800446124)-π/2
    2×0.192495417229057-π/2
    0.384990834458114-1.57079632675     		φ = -1.18580549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84998083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18580549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.941650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52064 KachelY 49824 1.84998083 -1.18580549 105.996094 -67.941650
    Oben rechts KachelX + 1 52065 KachelY 49824 1.85007670 -1.18580549 106.001587 -67.941650
    Unten links KachelX 52064 KachelY + 1 49825 1.84998083 -1.18584150 105.996094 -67.943713
    Unten rechts KachelX + 1 52065 KachelY + 1 49825 1.85007670 -1.18584150 106.001587 -67.943713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18580549--1.18584150) × R
    3.60100000000863e-05 × 6371000     		dl = 229.41971000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18580549--1.18584150) × R
    3.60100000000863e-05 × 6371000     		dr = 229.41971000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84998083-1.85007670) × cos(-1.18580549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375550644287607 × 6371000     		do = 229.381740546485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84998083-1.85007670) × cos(-1.18584150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37551726990864 × 6371000     		du = 229.361355883982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18580549)-sin(-1.18584150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375550644287607-0.37551726990864)×R²
    abs(1.85007670-1.84998083)×3.33743789661667e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33743789661667e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33743789661667e-05×40589641000000     		ar = 52622.3540798665m²