Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52056 / 49753
↖ ↑ ↗
← S 67.794717°
E105.952148°		 ← 230.83 m → S 67.794717°
E105.957641°		 →
↑
230.82 m
↓
↑
230.82 m
↓
S 67.796793°
E105.952148°		 ← 230.81 m →
53 279 m²		 S 67.796793°
E105.957641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794319152832031 y=0.759178161621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794319152832031 × 216)
    floor (0.794319152832031 × 65536)
    floor (52056.5)     		tx = 52056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759178161621094 × 216)
    floor (0.759178161621094 × 65536)
    floor (49753.5)     		ty = 49753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52056 / 49753 ti = "16/52056/49753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52056/49753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52056 ÷ 216
    52056 ÷ 65536     		x = 0.7943115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49753 ÷ 216
    49753 ÷ 65536     		y = 0.759170532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7943115234375 × 2 - 1) × π
    0.588623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.84921384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759170532226562 × 2 - 1) × π
    -0.518341064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62841648009331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84921384} λ = 1.84921384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62841648009331))-π/2
    2×atan(0.196240078287726)-π/2
    2×0.193777650312661-π/2
    0.387555300625322-1.57079632675     		φ = -1.18324103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84921384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.952148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18324103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.794717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52056 KachelY 49753 1.84921384 -1.18324103 105.952148 -67.794717
    Oben rechts KachelX + 1 52057 KachelY 49753 1.84930971 -1.18324103 105.957641 -67.794717
    Unten links KachelX 52056 KachelY + 1 49754 1.84921384 -1.18327726 105.952148 -67.796793
    Unten rechts KachelX + 1 52057 KachelY + 1 49754 1.84930971 -1.18327726 105.957641 -67.796793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18324103--1.18327726) × R
    3.62300000000815e-05 × 6371000     		dl = 230.821330000519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18324103--1.18327726) × R
    3.62300000000815e-05 × 6371000     		dr = 230.821330000519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84921384-1.84930971) × cos(-1.18324103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377926153120911 × 6371000     		do = 230.832672289395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84921384-1.84930971) × cos(-1.18327726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377892609843919 × 6371000     		du = 230.812184466042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18324103)-sin(-1.18327726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377926153120911-0.377892609843919)×R²
    abs(1.84930971-1.84921384)×3.35432769925093e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.35432769925093e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.35432769925093e-05×40589641000000     		ar = 53278.7399181283m²