Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52055 / 49735
↖ ↑ ↗
← S 67.757319°
E105.946656°		 ← 231.20 m → S 67.757319°
E105.952148°		 →
↑
231.20 m
↓
↑
231.20 m
↓
S 67.759398°
E105.946656°		 ← 231.18 m →
53 452 m²		 S 67.759398°
E105.952148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794303894042969 y=0.758903503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794303894042969 × 216)
    floor (0.794303894042969 × 65536)
    floor (52055.5)     		tx = 52055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758903503417969 × 216)
    floor (0.758903503417969 × 65536)
    floor (49735.5)     		ty = 49735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52055 / 49735 ti = "16/52055/49735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52055/49735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52055 ÷ 216
    52055 ÷ 65536     		x = 0.794296264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49735 ÷ 216
    49735 ÷ 65536     		y = 0.758895874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794296264648438 × 2 - 1) × π
    0.588592529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.84911797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758895874023438 × 2 - 1) × π
    -0.517791748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62669075170699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84911797} λ = 1.84911797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62669075170699))-π/2
    2×atan(0.196579027744591)-π/2
    2×0.194104009887375-π/2
    0.38820801977475-1.57079632675     		φ = -1.18258831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84911797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.946656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18258831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.757319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52055 KachelY 49735 1.84911797 -1.18258831 105.946656 -67.757319
    Oben rechts KachelX + 1 52056 KachelY 49735 1.84921384 -1.18258831 105.952148 -67.757319
    Unten links KachelX 52055 KachelY + 1 49736 1.84911797 -1.18262460 105.946656 -67.759398
    Unten rechts KachelX + 1 52056 KachelY + 1 49736 1.84921384 -1.18262460 105.952148 -67.759398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18258831--1.18262460) × R
    3.62899999999389e-05 × 6371000     		dl = 231.203589999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18258831--1.18262460) × R
    3.62899999999389e-05 × 6371000     		dr = 231.203589999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84911797-1.84921384) × cos(-1.18258831) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378530384077622 × 6371000     		do = 231.201729168009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84911797-1.84921384) × cos(-1.18262460) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378496794208438 × 6371000     		du = 231.181212886715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18258831)-sin(-1.18262460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378530384077622-0.378496794208438)×R²
    abs(1.84921384-1.84911797)×3.35898691847247e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.35898691847247e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.35898691847247e-05×40589641000000     		ar = 53452.2980846899m²