Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52054 / 49928
↖ ↑ ↗
← S 68.155209°
E105.941162°		 ← 227.29 m → S 68.155209°
E105.946656°		 →
↑
227.32 m
↓
↑
227.32 m
↓
S 68.157253°
E105.941162°		 ← 227.27 m →
51 666 m²		 S 68.157253°
E105.946656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794288635253906 y=0.761848449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794288635253906 × 216)
    floor (0.794288635253906 × 65536)
    floor (52054.5)     		tx = 52054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761848449707031 × 216)
    floor (0.761848449707031 × 65536)
    floor (49928.5)     		ty = 49928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52054 / 49928 ti = "16/52054/49928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52054/49928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52054 ÷ 216
    52054 ÷ 65536     		x = 0.794281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49928 ÷ 216
    49928 ÷ 65536     		y = 0.7618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794281005859375 × 2 - 1) × π
    0.58856201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.84902209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.523681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64519439496033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84902209} λ = 1.84902209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64519439496033))-π/2
    2×atan(0.192975045770953)-π/2
    2×0.190631761604491-π/2
    0.381263523208982-1.57079632675     		φ = -1.18953280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84902209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.941162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18953280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.155209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52054 KachelY 49928 1.84902209 -1.18953280 105.941162 -68.155209
    Oben rechts KachelX + 1 52055 KachelY 49928 1.84911797 -1.18953280 105.946656 -68.155209
    Unten links KachelX 52054 KachelY + 1 49929 1.84902209 -1.18956848 105.941162 -68.157253
    Unten rechts KachelX + 1 52055 KachelY + 1 49929 1.84911797 -1.18956848 105.946656 -68.157253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18953280--1.18956848) × R
    3.56799999998714e-05 × 6371000     		dl = 227.31727999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18953280--1.18956848) × R
    3.56799999998714e-05 × 6371000     		dr = 227.31727999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84902209-1.84911797) × cos(-1.18953280) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.372093565664068 × 6371000     		do = 227.293905284224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84902209-1.84911797) × cos(-1.18956848) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.372060447421547 × 6371000     		du = 227.273674956765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18953280)-sin(-1.18956848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372093565664068-0.372060447421547)×R²
    abs(1.84911797-1.84902209)×3.31182425215015e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.31182425215015e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.31182425215015e-05×40589641000000     		ar = 51665.5329639597m²