Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52051 / 49585
↖ ↑ ↗
← S 67.443336°
E105.924683°		 ← 234.30 m → S 67.443336°
E105.930176°		 →
↑
234.33 m
↓
↑
234.33 m
↓
S 67.445443°
E105.924683°		 ← 234.28 m →
54 899 m²		 S 67.445443°
E105.930176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794242858886719 y=0.756614685058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794242858886719 × 216)
    floor (0.794242858886719 × 65536)
    floor (52051.5)     		tx = 52051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756614685058594 × 216)
    floor (0.756614685058594 × 65536)
    floor (49585.5)     		ty = 49585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52051 / 49585 ti = "16/52051/49585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52051/49585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52051 ÷ 216
    52051 ÷ 65536     		x = 0.794235229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49585 ÷ 216
    49585 ÷ 65536     		y = 0.756607055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794235229492188 × 2 - 1) × π
    0.588470458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.84873447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756607055664062 × 2 - 1) × π
    -0.513214111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61230968182097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84873447} λ = 1.84873447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61230968182097))-π/2
    2×atan(0.199426470039679)-π/2
    2×0.196844027959323-π/2
    0.393688055918646-1.57079632675     		φ = -1.17710827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84873447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.924683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17710827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.443336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52051 KachelY 49585 1.84873447 -1.17710827 105.924683 -67.443336
    Oben rechts KachelX + 1 52052 KachelY 49585 1.84883034 -1.17710827 105.930176 -67.443336
    Unten links KachelX 52051 KachelY + 1 49586 1.84873447 -1.17714505 105.924683 -67.445443
    Unten rechts KachelX + 1 52052 KachelY + 1 49586 1.84883034 -1.17714505 105.930176 -67.445443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17710827--1.17714505) × R
    3.67800000000695e-05 × 6371000     		dl = 234.325380000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17710827--1.17714505) × R
    3.67800000000695e-05 × 6371000     		dr = 234.325380000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84873447-1.84883034) × cos(-1.17710827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.383596938919754 × 6371000     		do = 234.296318901617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84873447-1.84883034) × cos(-1.17714505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.383562972307632 × 6371000     		du = 234.275572510345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17710827)-sin(-1.17714505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383596938919754-0.383562972307632)×R²
    abs(1.84883034-1.84873447)×3.39666121216831e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39666121216831e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39666121216831e-05×40589641000000     		ar = 54899.143262433m²