Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52049 / 49770
↖ ↑ ↗
← S 67.829983°
E105.913696°		 ← 230.51 m → S 67.829983°
E105.919190°		 →
↑
230.44 m
↓
↑
230.44 m
↓
S 67.832055°
E105.913696°		 ← 230.49 m →
53 116 m²		 S 67.832055°
E105.919190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794212341308594 y=0.759437561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794212341308594 × 216)
    floor (0.794212341308594 × 65536)
    floor (52049.5)     		tx = 52049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759437561035156 × 216)
    floor (0.759437561035156 × 65536)
    floor (49770.5)     		ty = 49770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52049 / 49770 ti = "16/52049/49770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52049/49770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52049 ÷ 216
    52049 ÷ 65536     		x = 0.794204711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49770 ÷ 216
    49770 ÷ 65536     		y = 0.759429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794204711914062 × 2 - 1) × π
    0.588409423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.84854272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.51885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63004633468039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84854272} λ = 1.84854272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63004633468039))-π/2
    2×atan(0.195920496003031)-π/2
    2×0.193469900244484-π/2
    0.386939800488967-1.57079632675     		φ = -1.18385653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84854272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.913696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18385653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.829983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52049 KachelY 49770 1.84854272 -1.18385653 105.913696 -67.829983
    Oben rechts KachelX + 1 52050 KachelY 49770 1.84863860 -1.18385653 105.919190 -67.829983
    Unten links KachelX 52049 KachelY + 1 49771 1.84854272 -1.18389270 105.913696 -67.832055
    Unten rechts KachelX + 1 52050 KachelY + 1 49771 1.84863860 -1.18389270 105.919190 -67.832055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18385653--1.18389270) × R
    3.6170000000002e-05 × 6371000     		dl = 230.439070000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18385653--1.18389270) × R
    3.6170000000002e-05 × 6371000     		dr = 230.439070000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84854272-1.84863860) × cos(-1.18385653) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.377356229670334 × 6371000     		do = 230.508611381193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84854272-1.84863860) × cos(-1.18389270) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.377322733537392 × 6371000     		du = 230.48815021881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18385653)-sin(-1.18389270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377356229670334-0.377322733537392)×R²
    abs(1.84863860-1.84854272)×3.34961329425121e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.34961329425121e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.34961329425121e-05×40589641000000     		ar = 53115.8325140671m²