Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52036 / 49772
↖ ↑ ↗
← S 67.834128°
E105.842285°		 ← 230.47 m → S 67.834128°
E105.847778°		 →
↑
230.44 m
↓
↑
230.44 m
↓
S 67.836200°
E105.842285°		 ← 230.45 m →
53 106 m²		 S 67.836200°
E105.847778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794013977050781 y=0.759468078613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794013977050781 × 216)
    floor (0.794013977050781 × 65536)
    floor (52036.5)     		tx = 52036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759468078613281 × 216)
    floor (0.759468078613281 × 65536)
    floor (49772.5)     		ty = 49772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52036 / 49772 ti = "16/52036/49772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52036/49772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52036 ÷ 216
    52036 ÷ 65536     		x = 0.79400634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49772 ÷ 216
    49772 ÷ 65536     		y = 0.75946044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79400634765625 × 2 - 1) × π
    0.5880126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.84729636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75946044921875 × 2 - 1) × π
    -0.5189208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63023808227887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84729636} λ = 1.84729636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63023808227887))-π/2
    2×atan(0.195882932319917)-π/2
    2×0.193433724880731-π/2
    0.386867449761462-1.57079632675     		φ = -1.18392888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84729636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.842285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18392888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.834128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52036 KachelY 49772 1.84729636 -1.18392888 105.842285 -67.834128
    Oben rechts KachelX + 1 52037 KachelY 49772 1.84739224 -1.18392888 105.847778 -67.834128
    Unten links KachelX 52036 KachelY + 1 49773 1.84729636 -1.18396505 105.842285 -67.836200
    Unten rechts KachelX + 1 52037 KachelY + 1 49773 1.84739224 -1.18396505 105.847778 -67.836200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18392888--1.18396505) × R
    3.6170000000002e-05 × 6371000     		dl = 230.439070000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18392888--1.18396505) × R
    3.6170000000002e-05 × 6371000     		dr = 230.439070000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84729636-1.84739224) × cos(-1.18392888) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.377289227649855 × 6371000     		do = 230.46768309782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84729636-1.84739224) × cos(-1.18396505) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.37725573052954 × 6371000     		du = 230.4472213323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18392888)-sin(-1.18396505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377289227649855-0.37725573052954)×R²
    abs(1.84739224-1.84729636)×3.3497120314363e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.3497120314363e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.3497120314363e-05×40589641000000     		ar = 53106.400968884m²