Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52032 / 49463
↖ ↑ ↗
← S 67.184869°
E105.820313°		 ← 236.84 m → S 67.184869°
E105.825806°		 →
↑
236.87 m
↓
↑
236.87 m
↓
S 67.187000°
E105.820313°		 ← 236.82 m →
56 098 m²		 S 67.187000°
E105.825806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793952941894531 y=0.754753112792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793952941894531 × 216)
    floor (0.793952941894531 × 65536)
    floor (52032.5)     		tx = 52032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754753112792969 × 216)
    floor (0.754753112792969 × 65536)
    floor (49463.5)     		ty = 49463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52032 / 49463 ti = "16/52032/49463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52032/49463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52032 ÷ 216
    52032 ÷ 65536     		x = 0.7939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49463 ÷ 216
    49463 ÷ 65536     		y = 0.754745483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7939453125 × 2 - 1) × π
    0.587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84691287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754745483398438 × 2 - 1) × π
    -0.509490966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60061307831367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84691287} λ = 1.84691287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60061307831367))-π/2
    2×atan(0.201772777553033)-π/2
    2×0.19909957107163-π/2
    0.39819914214326-1.57079632675     		φ = -1.17259718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84691287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.820313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17259718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.184869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52032 KachelY 49463 1.84691287 -1.17259718 105.820313 -67.184869
    Oben rechts KachelX + 1 52033 KachelY 49463 1.84700874 -1.17259718 105.825806 -67.184869
    Unten links KachelX 52032 KachelY + 1 49464 1.84691287 -1.17263436 105.820313 -67.187000
    Unten rechts KachelX + 1 52033 KachelY + 1 49464 1.84700874 -1.17263436 105.825806 -67.187000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17259718--1.17263436) × R
    3.7180000000081e-05 × 6371000     		dl = 236.873780000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17259718--1.17263436) × R
    3.7180000000081e-05 × 6371000     		dr = 236.873780000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84691287-1.84700874) × cos(-1.17259718) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387759016106307 × 6371000     		do = 236.83846474496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84691287-1.84700874) × cos(-1.17263436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387724744772306 × 6371000     		du = 236.817532233291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17259718)-sin(-1.17263436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387759016106307-0.387724744772306)×R²
    abs(1.84700874-1.84691287)×3.42713340016898e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42713340016898e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42713340016898e-05×40589641000000     		ar = 56098.3432183509m²