Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52032 / 49458
↖ ↑ ↗
← S 67.174217°
E105.820313°		 ← 236.94 m → S 67.174217°
E105.825806°		 →
↑
236.94 m
↓
↑
236.94 m
↓
S 67.176348°
E105.820313°		 ← 236.92 m →
56 138 m²		 S 67.176348°
E105.825806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793952941894531 y=0.754676818847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793952941894531 × 216)
    floor (0.793952941894531 × 65536)
    floor (52032.5)     		tx = 52032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754676818847656 × 216)
    floor (0.754676818847656 × 65536)
    floor (49458.5)     		ty = 49458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52032 / 49458 ti = "16/52032/49458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52032/49458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52032 ÷ 216
    52032 ÷ 65536     		x = 0.7939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49458 ÷ 216
    49458 ÷ 65536     		y = 0.754669189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7939453125 × 2 - 1) × π
    0.587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84691287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754669189453125 × 2 - 1) × π
    -0.50933837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60013370931747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84691287} λ = 1.84691287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60013370931747))-π/2
    2×atan(0.201869524353725)-π/2
    2×0.199192531431611-π/2
    0.398385062863222-1.57079632675     		φ = -1.17241126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84691287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.820313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17241126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.174217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52032 KachelY 49458 1.84691287 -1.17241126 105.820313 -67.174217
    Oben rechts KachelX + 1 52033 KachelY 49458 1.84700874 -1.17241126 105.825806 -67.174217
    Unten links KachelX 52032 KachelY + 1 49459 1.84691287 -1.17244845 105.820313 -67.176348
    Unten rechts KachelX + 1 52033 KachelY + 1 49459 1.84700874 -1.17244845 105.825806 -67.176348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17241126--1.17244845) × R
    3.71900000000203e-05 × 6371000     		dl = 236.937490000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17241126--1.17244845) × R
    3.71900000000203e-05 × 6371000     		dr = 236.937490000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84691287-1.84700874) × cos(-1.17241126) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387930383168847 × 6371000     		do = 236.943133650941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84691287-1.84700874) × cos(-1.17244845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387896105298675 × 6371000     		du = 236.922197147058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17241126)-sin(-1.17244845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387930383168847-0.387896105298675)×R²
    abs(1.84700874-1.84691287)×3.42778701724611e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42778701724611e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42778701724611e-05×40589641000000     		ar = 56138.2310448742m²