Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52031 / 49475
↖ ↑ ↗
← S 67.210417°
E105.814819°		 ← 236.61 m → S 67.210417°
E105.820313°		 →
↑
236.56 m
↓
↑
236.56 m
↓
S 67.212544°
E105.814819°		 ← 236.59 m →
55 969 m²		 S 67.212544°
E105.820313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793937683105469 y=0.754936218261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793937683105469 × 216)
    floor (0.793937683105469 × 65536)
    floor (52031.5)     		tx = 52031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754936218261719 × 216)
    floor (0.754936218261719 × 65536)
    floor (49475.5)     		ty = 49475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52031 / 49475 ti = "16/52031/49475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52031/49475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52031 ÷ 216
    52031 ÷ 65536     		x = 0.793930053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49475 ÷ 216
    49475 ÷ 65536     		y = 0.754928588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793930053710938 × 2 - 1) × π
    0.587860107421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.84681699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754928588867188 × 2 - 1) × π
    -0.509857177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60176356390456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84681699} λ = 1.84681699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60176356390456))-π/2
    2×atan(0.20154077436358)-π/2
    2×0.19887663373146-π/2
    0.397753267462919-1.57079632675     		φ = -1.17304306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84681699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.814819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17304306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.210417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52031 KachelY 49475 1.84681699 -1.17304306 105.814819 -67.210417
    Oben rechts KachelX + 1 52032 KachelY 49475 1.84691287 -1.17304306 105.820313 -67.210417
    Unten links KachelX 52031 KachelY + 1 49476 1.84681699 -1.17308019 105.814819 -67.212544
    Unten rechts KachelX + 1 52032 KachelY + 1 49476 1.84691287 -1.17308019 105.820313 -67.212544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17304306--1.17308019) × R
    3.71300000001629e-05 × 6371000     		dl = 236.555230001038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17304306--1.17308019) × R
    3.71300000001629e-05 × 6371000     		dr = 236.555230001038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84681699-1.84691287) × cos(-1.17304306) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.387347982875964 × 6371000     		do = 236.612088614642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84681699-1.84691287) × cos(-1.17308019) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.387313751214853 × 6371000     		du = 236.59117815379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17304306)-sin(-1.17308019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387347982875964-0.387313751214853)×R²
    abs(1.84691287-1.84681699)×3.42316611103843e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.42316611103843e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.42316611103843e-05×40589641000000     		ar = 55969.3538103955m²