Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52026 / 49610
↖ ↑ ↗
← S 67.495957°
E105.787354°		 ← 233.78 m → S 67.495957°
E105.792847°		 →
↑
233.75 m
↓
↑
233.75 m
↓
S 67.498059°
E105.787354°		 ← 233.76 m →
54 644 m²		 S 67.498059°
E105.792847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793861389160156 y=0.756996154785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793861389160156 × 216)
    floor (0.793861389160156 × 65536)
    floor (52026.5)     		tx = 52026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756996154785156 × 216)
    floor (0.756996154785156 × 65536)
    floor (49610.5)     		ty = 49610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52026 / 49610 ti = "16/52026/49610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52026/49610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52026 ÷ 216
    52026 ÷ 65536     		x = 0.793853759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49610 ÷ 216
    49610 ÷ 65536     		y = 0.756988525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793853759765625 × 2 - 1) × π
    0.58770751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.84633763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756988525390625 × 2 - 1) × π
    -0.51397705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61470652680197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84633763} λ = 1.84633763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61470652680197))-π/2
    2×atan(0.19894904808765)-π/2
    2×0.196384825233374-π/2
    0.392769650466749-1.57079632675     		φ = -1.17802668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84633763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.787354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17802668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.495957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52026 KachelY 49610 1.84633763 -1.17802668 105.787354 -67.495957
    Oben rechts KachelX + 1 52027 KachelY 49610 1.84643350 -1.17802668 105.792847 -67.495957
    Unten links KachelX 52026 KachelY + 1 49611 1.84633763 -1.17806337 105.787354 -67.498059
    Unten rechts KachelX + 1 52027 KachelY + 1 49611 1.84643350 -1.17806337 105.792847 -67.498059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17802668--1.17806337) × R
    3.66899999999504e-05 × 6371000     		dl = 233.751989999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17802668--1.17806337) × R
    3.66899999999504e-05 × 6371000     		dr = 233.751989999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84633763-1.84643350) × cos(-1.17802668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382748625060326 × 6371000     		do = 233.778179171157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84633763-1.84643350) × cos(-1.17806337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38271472865353 × 6371000     		du = 233.75747566044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17802668)-sin(-1.17806337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382748625060326-0.38271472865353)×R²
    abs(1.84643350-1.84633763)×3.38964067953529e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.38964067953529e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.38964067953529e-05×40589641000000     		ar = 54643.6948627727m²