Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52025 / 49603
↖ ↑ ↗
← S 67.481235°
E105.781860°		 ← 233.95 m → S 67.481235°
E105.787354°		 →
↑
233.88 m
↓
↑
233.88 m
↓
S 67.483338°
E105.781860°		 ← 233.93 m →
54 713 m²		 S 67.483338°
E105.787354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793846130371094 y=0.756889343261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793846130371094 × 216)
    floor (0.793846130371094 × 65536)
    floor (52025.5)     		tx = 52025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756889343261719 × 216)
    floor (0.756889343261719 × 65536)
    floor (49603.5)     		ty = 49603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52025 / 49603 ti = "16/52025/49603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52025/49603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52025 ÷ 216
    52025 ÷ 65536     		x = 0.793838500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49603 ÷ 216
    49603 ÷ 65536     		y = 0.756881713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793838500976562 × 2 - 1) × π
    0.587677001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.84624175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756881713867188 × 2 - 1) × π
    -0.513763427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61403541020729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84624175} λ = 1.84624175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61403541020729))-π/2
    2×atan(0.199082610908418)-π/2
    2×0.196513299533771-π/2
    0.393026599067543-1.57079632675     		φ = -1.17776973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84624175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.781860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17776973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.481235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52025 KachelY 49603 1.84624175 -1.17776973 105.781860 -67.481235
    Oben rechts KachelX + 1 52026 KachelY 49603 1.84633763 -1.17776973 105.787354 -67.481235
    Unten links KachelX 52025 KachelY + 1 49604 1.84624175 -1.17780644 105.781860 -67.483338
    Unten rechts KachelX + 1 52026 KachelY + 1 49604 1.84633763 -1.17780644 105.787354 -67.483338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17776973--1.17780644) × R
    3.67099999998288e-05 × 6371000     		dl = 233.879409998909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17776973--1.17780644) × R
    3.67099999998288e-05 × 6371000     		dr = 233.879409998909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84624175-1.84633763) × cos(-1.17776973) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.382985996329136 × 6371000     		do = 233.947562677315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84624175-1.84633763) × cos(-1.17780644) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.382952085056296 × 6371000     		du = 233.926847926113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17776973)-sin(-1.17780644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382985996329136-0.382952085056296)×R²
    abs(1.84633763-1.84624175)×3.39112728391378e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.39112728391378e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.39112728391378e-05×40589641000000     		ar = 54713.0955590163m²