Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5202 / 3130
↖ ↑ ↗
← N 80.994013°
W122.849121°		 ← 191.23 m → N 80.994013°
W122.838135°		 →
↑
191.26 m
↓
↑
191.26 m
↓
N 80.992293°
W122.849121°		 ← 191.27 m →
36 578 m²		 N 80.992293°
W122.838135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158767700195312 y=0.0955352783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158767700195312 × 215)
    floor (0.158767700195312 × 32768)
    floor (5202.5)     		tx = 5202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0955352783203125 × 215)
    floor (0.0955352783203125 × 32768)
    floor (3130.5)     		ty = 3130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5202 / 3130 ti = "15/5202/3130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5202/3130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5202 ÷ 215
    5202 ÷ 32768     		x = 0.15875244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3130 ÷ 215
    3130 ÷ 32768     		y = 0.09552001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.6824951171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14412165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09552001953125 × 2 - 1) × π
    0.8089599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5414226702569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14412165} λ = -2.14412165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5414226702569))-π/2
    2×atan(12.6977227994464)-π/2
    2×1.49220426243406-π/2
    2.98440852486812-1.57079632675     		φ = 1.41361220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14412165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.849121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41361220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.994013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5202 KachelY 3130 -2.14412165 1.41361220 -122.849121 80.994013
    Oben rechts KachelX + 1 5203 KachelY 3130 -2.14392990 1.41361220 -122.838135 80.994013
    Unten links KachelX 5202 KachelY + 1 3131 -2.14412165 1.41358218 -122.849121 80.992293
    Unten rechts KachelX + 1 5203 KachelY + 1 3131 -2.14392990 1.41358218 -122.838135 80.992293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41361220-1.41358218) × R
    3.0020000000075e-05 × 6371000     		dl = 191.257420000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41361220-1.41358218) × R
    3.0020000000075e-05 × 6371000     		dr = 191.257420000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14412165--2.14392990) × cos(1.41361220) × R
    0.000191750000000379 × 0.156537671805436 × 6371000     		do = 191.232563981517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14412165--2.14392990) × cos(1.41358218) × R
    0.000191750000000379 × 0.156567321647997 × 6371000     		du = 191.268785392946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41361220)-sin(1.41358218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156537671805436-0.156567321647997)×R²
    abs(-2.14392990--2.14412165)×2.96498425611247e-05×R²
    0.000191750000000379×2.96498425611247e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.96498425611247e-05×40589641000000     		ar = 36578.11061655m²