Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52019 / 49861
↖ ↑ ↗
← S 68.017854°
E105.748901°		 ← 228.63 m → S 68.017854°
E105.754394°		 →
↑
228.59 m
↓
↑
228.59 m
↓
S 68.019910°
E105.748901°		 ← 228.61 m →
52 260 m²		 S 68.019910°
E105.754394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793754577636719 y=0.760826110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793754577636719 × 216)
    floor (0.793754577636719 × 65536)
    floor (52019.5)     		tx = 52019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760826110839844 × 216)
    floor (0.760826110839844 × 65536)
    floor (49861.5)     		ty = 49861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52019 / 49861 ti = "16/52019/49861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52019/49861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52019 ÷ 216
    52019 ÷ 65536     		x = 0.793746948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49861 ÷ 216
    49861 ÷ 65536     		y = 0.760818481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793746948242188 × 2 - 1) × π
    0.587493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.84566651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760818481445312 × 2 - 1) × π
    -0.521636962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63877085041124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84566651} λ = 1.84566651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63877085041124))-π/2
    2×atan(0.194218619373526)-π/2
    2×0.191830410050497-π/2
    0.383660820100995-1.57079632675     		φ = -1.18713551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84566651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.748901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18713551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.017854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52019 KachelY 49861 1.84566651 -1.18713551 105.748901 -68.017854
    Oben rechts KachelX + 1 52020 KachelY 49861 1.84576238 -1.18713551 105.754394 -68.017854
    Unten links KachelX 52019 KachelY + 1 49862 1.84566651 -1.18717139 105.748901 -68.019910
    Unten rechts KachelX + 1 52020 KachelY + 1 49862 1.84576238 -1.18717139 105.754394 -68.019910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18713551--1.18717139) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dl = 228.591479999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18713551--1.18717139) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dr = 228.591479999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84566651-1.84576238) × cos(-1.18713551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374317647456916 × 6371000     		do = 228.628641161851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84566651-1.84576238) × cos(-1.18717139) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374284375672462 × 6371000     		du = 228.608319162821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18713551)-sin(-1.18717139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374317647456916-0.374284375672462)×R²
    abs(1.84576238-1.84566651)×3.3271784453115e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3271784453115e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3271784453115e-05×40589641000000     		ar = 52260.2367413513m²