Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52015 / 49579
↖ ↑ ↗
← S 67.430690°
E105.726928°		 ← 234.45 m → S 67.430690°
E105.732422°		 →
↑
234.45 m
↓
↑
234.45 m
↓
S 67.432798°
E105.726928°		 ← 234.42 m →
54 964 m²		 S 67.432798°
E105.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793693542480469 y=0.756523132324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793693542480469 × 216)
    floor (0.793693542480469 × 65536)
    floor (52015.5)     		tx = 52015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756523132324219 × 216)
    floor (0.756523132324219 × 65536)
    floor (49579.5)     		ty = 49579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52015 / 49579 ti = "16/52015/49579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52015/49579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52015 ÷ 216
    52015 ÷ 65536     		x = 0.793685913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49579 ÷ 216
    49579 ÷ 65536     		y = 0.756515502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793685913085938 × 2 - 1) × π
    0.587371826171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.84528301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756515502929688 × 2 - 1) × π
    -0.513031005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61173443902553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84528301} λ = 1.84528301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61173443902553))-π/2
    2×atan(0.199541221681653)-π/2
    2×0.196954387956994-π/2
    0.393908775913987-1.57079632675     		φ = -1.17688755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84528301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.726928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17688755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.430690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52015 KachelY 49579 1.84528301 -1.17688755 105.726928 -67.430690
    Oben rechts KachelX + 1 52016 KachelY 49579 1.84537889 -1.17688755 105.732422 -67.430690
    Unten links KachelX 52015 KachelY + 1 49580 1.84528301 -1.17692435 105.726928 -67.432798
    Unten rechts KachelX + 1 52016 KachelY + 1 49580 1.84537889 -1.17692435 105.732422 -67.432798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17688755--1.17692435) × R
    3.6799999999948e-05 × 6371000     		dl = 234.452799999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17688755--1.17692435) × R
    3.6799999999948e-05 × 6371000     		dr = 234.452799999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84528301-1.84537889) × cos(-1.17688755) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.383800764630239 × 6371000     		do = 234.445265099902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84528301-1.84537889) × cos(-1.17692435) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.383766782664277 × 6371000     		du = 234.424507165701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17688755)-sin(-1.17692435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383800764630239-0.383766782664277)×R²
    abs(1.84537889-1.84528301)×3.39819659617713e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.39819659617713e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.39819659617713e-05×40589641000000     		ar = 54963.9154774949m²