Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52006 / 49558
↖ ↑ ↗
← S 67.386375°
E105.677490°		 ← 234.86 m → S 67.386375°
E105.682983°		 →
↑
234.84 m
↓
↑
234.84 m
↓
S 67.388487°
E105.677490°		 ← 234.84 m →
55 150 m²		 S 67.388487°
E105.682983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793556213378906 y=0.756202697753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793556213378906 × 216)
    floor (0.793556213378906 × 65536)
    floor (52006.5)     		tx = 52006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756202697753906 × 216)
    floor (0.756202697753906 × 65536)
    floor (49558.5)     		ty = 49558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52006 / 49558 ti = "16/52006/49558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52006/49558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52006 ÷ 216
    52006 ÷ 65536     		x = 0.793548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49558 ÷ 216
    49558 ÷ 65536     		y = 0.756195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793548583984375 × 2 - 1) × π
    0.58709716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.84442015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756195068359375 × 2 - 1) × π
    -0.51239013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60972108924149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84442015} λ = 1.84442015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60972108924149))-π/2
    2×atan(0.199943372656676)-π/2
    2×0.197341109888401-π/2
    0.394682219776802-1.57079632675     		φ = -1.17611411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84442015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.677490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17611411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.386375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52006 KachelY 49558 1.84442015 -1.17611411 105.677490 -67.386375
    Oben rechts KachelX + 1 52007 KachelY 49558 1.84451602 -1.17611411 105.682983 -67.386375
    Unten links KachelX 52006 KachelY + 1 49559 1.84442015 -1.17615097 105.677490 -67.388487
    Unten rechts KachelX + 1 52007 KachelY + 1 49559 1.84451602 -1.17615097 105.682983 -67.388487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17611411--1.17615097) × R
    3.68599999998054e-05 × 6371000     		dl = 234.83505999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17611411--1.17615097) × R
    3.68599999998054e-05 × 6371000     		dr = 234.83505999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84442015-1.84451602) × cos(-1.17611411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.384514856576507 × 6371000     		do = 234.85697178023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84442015-1.84451602) × cos(-1.17615097) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.384480830156212 × 6371000     		du = 234.836188858856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17611411)-sin(-1.17615097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384514856576507-0.384480830156212)×R²
    abs(1.84451602-1.84442015)×3.40264202954854e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.40264202954854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.40264202954854e-05×40589641000000     		ar = 55150.2107858581m²