Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52005 / 49586
↖ ↑ ↗
← S 67.445443°
E105.671997°		 ← 234.28 m → S 67.445443°
E105.677490°		 →
↑
234.26 m
↓
↑
234.26 m
↓
S 67.447550°
E105.671997°		 ← 234.25 m →
54 879 m²		 S 67.447550°
E105.677490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793540954589844 y=0.756629943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793540954589844 × 216)
    floor (0.793540954589844 × 65536)
    floor (52005.5)     		tx = 52005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756629943847656 × 216)
    floor (0.756629943847656 × 65536)
    floor (49586.5)     		ty = 49586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52005 / 49586 ti = "16/52005/49586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52005/49586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52005 ÷ 216
    52005 ÷ 65536     		x = 0.793533325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49586 ÷ 216
    49586 ÷ 65536     		y = 0.756622314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793533325195312 × 2 - 1) × π
    0.587066650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84432428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756622314453125 × 2 - 1) × π
    -0.51324462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61240555562021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84432428} λ = 1.84432428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61240555562021))-π/2
    2×atan(0.19940735118284)-π/2
    2×0.196825640325438-π/2
    0.393651280650877-1.57079632675     		φ = -1.17714505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84432428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.671997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17714505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.445443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52005 KachelY 49586 1.84432428 -1.17714505 105.671997 -67.445443
    Oben rechts KachelX + 1 52006 KachelY 49586 1.84442015 -1.17714505 105.677490 -67.445443
    Unten links KachelX 52005 KachelY + 1 49587 1.84432428 -1.17718182 105.671997 -67.447550
    Unten rechts KachelX + 1 52006 KachelY + 1 49587 1.84442015 -1.17718182 105.677490 -67.447550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17714505--1.17718182) × R
    3.67699999999083e-05 × 6371000     		dl = 234.261669999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17714505--1.17718182) × R
    3.67699999999083e-05 × 6371000     		dr = 234.261669999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84432428-1.84442015) × cos(-1.17714505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.383562972307632 × 6371000     		do = 234.275572510345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84432428-1.84442015) × cos(-1.17718182) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.383529014411927 × 6371000     		du = 234.254831442954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17714505)-sin(-1.17718182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383562972307632-0.383529014411927)×R²
    abs(1.84442015-1.84432428)×3.39578957051501e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39578957051501e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39578957051501e-05×40589641000000     		ar = 54879.3574437089m²