Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 520 / 490
↖ ↑ ↗
← N 79.528647°
W134.296875°		 ← 1 776.18 m → N 79.528647°
W134.208984°		 →
↑
1 777.51 m
↓
↑
1 777.51 m
↓
N 79.512661°
W134.296875°		 ← 1 778.86 m →
3 159 560 m²		 N 79.512661°
W134.208984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1270751953125 y=0.1197509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1270751953125 × 212)
    floor (0.1270751953125 × 4096)
    floor (520.5)     		tx = 520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1197509765625 × 212)
    floor (0.1197509765625 × 4096)
    floor (490.5)     		ty = 490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 520 / 490 ti = "12/520/490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/520/490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 520 ÷ 212
    520 ÷ 4096     		x = 0.126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 490 ÷ 212
    490 ÷ 4096     		y = 0.11962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126953125 × 2 - 1) × π
    -0.74609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34392264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11962890625 × 2 - 1) × π
    0.7607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38994206745752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34392264} λ = -2.34392264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38994206745752))-π/2
    2×atan(10.912861714904)-π/2
    2×1.47941653538561-π/2
    2.95883307077122-1.57079632675     		φ = 1.38803674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34392264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38803674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.528647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 520 KachelY 490 -2.34392264 1.38803674 -134.296875 79.528647
    Oben rechts KachelX + 1 521 KachelY 490 -2.34238866 1.38803674 -134.208984 79.528647
    Unten links KachelX 520 KachelY + 1 491 -2.34392264 1.38775774 -134.296875 79.512661
    Unten rechts KachelX + 1 521 KachelY + 1 491 -2.34238866 1.38775774 -134.208984 79.512661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38803674-1.38775774) × R
    0.000278999999999918 × 6371000     		dl = 1777.50899999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38803674-1.38775774) × R
    0.000278999999999918 × 6371000     		dr = 1777.50899999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34392264--2.34238866) × cos(1.38803674) × R
    0.00153398000000005 × 0.181743890359503 × 6371000     		do = 1776.18060148047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34392264--2.34238866) × cos(1.38775774) × R
    0.00153398000000005 × 0.182018236788377 × 6371000     		du = 1778.86178544812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38803674)-sin(1.38775774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181743890359503-0.182018236788377)×R²
    abs(-2.34238866--2.34392264)×0.000274346428874001×R²
    0.00153398000000005×0.000274346428874001×6371000²
    0.00153398000000005×0.000274346428874001×40589641000000     		ar = 3159559.93956514m²