Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 520 / 1570
↖ ↑ ↗
← N 38.685510°
W134.296875°		 ← 7 628.68 m → N 38.685510°
W134.208984°		 →
↑
7 632.33 m
↓
↑
7 632.33 m
↓
N 38.616871°
W134.296875°		 ← 7 635.99 m →
58 252 528 m²		 N 38.616871°
W134.208984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1270751953125 y=0.3834228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1270751953125 × 212)
    floor (0.1270751953125 × 4096)
    floor (520.5)     		tx = 520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3834228515625 × 212)
    floor (0.3834228515625 × 4096)
    floor (1570.5)     		ty = 1570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 520 / 1570 ti = "12/520/1570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/520/1570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 520 ÷ 212
    520 ÷ 4096     		x = 0.126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1570 ÷ 212
    1570 ÷ 4096     		y = 0.38330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126953125 × 2 - 1) × π
    -0.74609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34392264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38330078125 × 2 - 1) × π
    0.2333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.733242816588379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34392264} λ = -2.34392264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.733242816588379))-π/2
    2×atan(2.08182063592218)-π/2
    2×1.12299292245157-π/2
    2.24598584490315-1.57079632675     		φ = 0.67518952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34392264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67518952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.685510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 520 KachelY 1570 -2.34392264 0.67518952 -134.296875 38.685510
    Oben rechts KachelX + 1 521 KachelY 1570 -2.34238866 0.67518952 -134.208984 38.685510
    Unten links KachelX 520 KachelY + 1 1571 -2.34392264 0.67399154 -134.296875 38.616871
    Unten rechts KachelX + 1 521 KachelY + 1 1571 -2.34238866 0.67399154 -134.208984 38.616871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67518952-0.67399154) × R
    0.00119798000000004 × 6371000     		dl = 7632.33058000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67518952-0.67399154) × R
    0.00119798000000004 × 6371000     		dr = 7632.33058000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34392264--2.34238866) × cos(0.67518952) × R
    0.00153398000000005 × 0.78058850657304 × 6371000     		do = 7628.68099924079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34392264--2.34238866) × cos(0.67399154) × R
    0.00153398000000005 × 0.781336737987498 × 6371000     		du = 7635.99345481302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67518952)-sin(0.67399154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78058850657304-0.781336737987498)×R²
    abs(-2.34238866--2.34392264)×0.000748231414458234×R²
    0.00153398000000005×0.000748231414458234×6371000²
    0.00153398000000005×0.000748231414458234×40589641000000     		ar = 58252527.7814996m²