Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51970 / 50426
↖ ↑ ↗
← S 69.150831°
E105.479736°		 ← 217.41 m → S 69.150831°
E105.485230°		 →
↑
217.38 m
↓
↑
217.38 m
↓
S 69.152786°
E105.479736°		 ← 217.39 m →
47 258 m²		 S 69.152786°
E105.485230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793006896972656 y=0.769447326660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793006896972656 × 216)
    floor (0.793006896972656 × 65536)
    floor (51970.5)     		tx = 51970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769447326660156 × 216)
    floor (0.769447326660156 × 65536)
    floor (50426.5)     		ty = 50426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51970 / 50426 ti = "16/51970/50426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51970/50426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51970 ÷ 216
    51970 ÷ 65536     		x = 0.792999267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50426 ÷ 216
    50426 ÷ 65536     		y = 0.769439697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792999267578125 × 2 - 1) × π
    0.58599853515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84096869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.53887939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6929395469819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84096869} λ = 1.84096869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6929395469819))-π/2
    2×atan(0.183977916613302)-π/2
    2×0.181943325659987-π/2
    0.363886651319974-1.57079632675     		φ = -1.20690968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84096869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.479736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20690968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.150831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51970 KachelY 50426 1.84096869 -1.20690968 105.479736 -69.150831
    Oben rechts KachelX + 1 51971 KachelY 50426 1.84106457 -1.20690968 105.485230 -69.150831
    Unten links KachelX 51970 KachelY + 1 50427 1.84096869 -1.20694380 105.479736 -69.152786
    Unten rechts KachelX + 1 51971 KachelY + 1 50427 1.84106457 -1.20694380 105.485230 -69.152786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20690968--1.20694380) × R
    3.41199999998043e-05 × 6371000     		dl = 217.378519998753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20690968--1.20694380) × R
    3.41199999998043e-05 × 6371000     		dr = 217.378519998753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84096869-1.84106457) × cos(-1.20690968) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.355909063779131 × 6371000     		do = 217.407578354754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84096869-1.84106457) × cos(-1.20694380) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.355877177729342 × 6371000     		du = 217.388100714049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20690968)-sin(-1.20694380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355909063779131-0.355877177729342)×R²
    abs(1.84106457-1.84096869)×3.18860497892093e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.18860497892093e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.18860497892093e-05×40589641000000     		ar = 47257.6206134661m²