Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51961 / 49773
↖ ↑ ↗
← S 67.836200°
E105.430298°		 ← 230.42 m → S 67.836200°
E105.435791°		 →
↑
230.38 m
↓
↑
230.38 m
↓
S 67.838272°
E105.430298°		 ← 230.40 m →
53 081 m²		 S 67.838272°
E105.435791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792869567871094 y=0.759483337402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792869567871094 × 216)
    floor (0.792869567871094 × 65536)
    floor (51961.5)     		tx = 51961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759483337402344 × 216)
    floor (0.759483337402344 × 65536)
    floor (49773.5)     		ty = 49773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51961 / 49773 ti = "16/51961/49773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51961/49773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51961 ÷ 216
    51961 ÷ 65536     		x = 0.792861938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49773 ÷ 216
    49773 ÷ 65536     		y = 0.759475708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792861938476562 × 2 - 1) × π
    0.585723876953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.84010583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759475708007812 × 2 - 1) × π
    -0.518951416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63033395607811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84010583} λ = 1.84010583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63033395607811))-π/2
    2×atan(0.195864153179218)-π/2
    2×0.193415639607662-π/2
    0.386831279215323-1.57079632675     		φ = -1.18396505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84010583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.430298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18396505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.836200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51961 KachelY 49773 1.84010583 -1.18396505 105.430298 -67.836200
    Oben rechts KachelX + 1 51962 KachelY 49773 1.84020170 -1.18396505 105.435791 -67.836200
    Unten links KachelX 51961 KachelY + 1 49774 1.84010583 -1.18400121 105.430298 -67.838272
    Unten rechts KachelX + 1 51962 KachelY + 1 49774 1.84020170 -1.18400121 105.435791 -67.838272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18396505--1.18400121) × R
    3.61599999998408e-05 × 6371000     		dl = 230.375359998986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18396505--1.18400121) × R
    3.61599999998408e-05 × 6371000     		dr = 230.375359998986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84010583-1.84020170) × cos(-1.18396505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37725573052954 × 6371000     		do = 230.423186369854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84010583-1.84020170) × cos(-1.18400121) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377222242176902 × 6371000     		du = 230.402732093625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18396505)-sin(-1.18400121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37725573052954-0.377222242176902)×R²
    abs(1.84020170-1.84010583)×3.34883526384444e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34883526384444e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34883526384444e-05×40589641000000     		ar = 53081.4684371563m²