Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5196 / 3148
↖ ↑ ↗
← N 80.963004°
W122.915039°		 ← 191.89 m → N 80.963004°
W122.904052°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
N 80.961278°
W122.915039°		 ← 191.92 m →
36 825 m²		 N 80.961278°
W122.904052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158584594726562 y=0.0960845947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158584594726562 × 215)
    floor (0.158584594726562 × 32768)
    floor (5196.5)     		tx = 5196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0960845947265625 × 215)
    floor (0.0960845947265625 × 32768)
    floor (3148.5)     		ty = 3148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5196 / 3148 ti = "15/5196/3148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5196/3148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5196 ÷ 215
    5196 ÷ 32768     		x = 0.1585693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3148 ÷ 215
    3148 ÷ 32768     		y = 0.0960693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.682861328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14527213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0960693359375 × 2 - 1) × π
    0.807861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53797121348425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14527213} λ = -2.14527213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53797121348425))-π/2
    2×atan(12.6539727023089)-π/2
    2×1.4919336599729-π/2
    2.9838673199458-1.57079632675     		φ = 1.41307099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14527213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.915039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41307099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.963004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5196 KachelY 3148 -2.14527213 1.41307099 -122.915039 80.963004
    Oben rechts KachelX + 1 5197 KachelY 3148 -2.14508038 1.41307099 -122.904052 80.963004
    Unten links KachelX 5196 KachelY + 1 3149 -2.14527213 1.41304087 -122.915039 80.961278
    Unten rechts KachelX + 1 5197 KachelY + 1 3149 -2.14508038 1.41304087 -122.904052 80.961278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41307099-1.41304087) × R
    3.01200000001334e-05 × 6371000     		dl = 191.89452000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41307099-1.41304087) × R
    3.01200000001334e-05 × 6371000     		dr = 191.89452000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14527213--2.14508038) × cos(1.41307099) × R
    0.000191749999999935 × 0.157072186810768 × 6371000     		do = 191.885548491302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14527213--2.14508038) × cos(1.41304087) × R
    0.000191749999999935 × 0.1571019328637 × 6371000     		du = 191.921887437095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41307099)-sin(1.41304087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157072186810768-0.1571019328637)×R²
    abs(-2.14508038--2.14527213)×2.97460529312121e-05×R²
    0.000191749999999935×2.97460529312121e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.97460529312121e-05×40589641000000     		ar = 36825.2718478439m²