Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5195 / 3085
↖ ↑ ↗
← N 81.071074°
W122.926025°		 ← 189.61 m → N 81.071074°
W122.915039°		 →
↑
189.66 m
↓
↑
189.66 m
↓
N 81.069368°
W122.926025°		 ← 189.65 m →
35 966 m²		 N 81.069368°
W122.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158554077148438 y=0.0941619873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158554077148438 × 215)
    floor (0.158554077148438 × 32768)
    floor (5195.5)     		tx = 5195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0941619873046875 × 215)
    floor (0.0941619873046875 × 32768)
    floor (3085.5)     		ty = 3085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5195 / 3085 ti = "15/5195/3085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5195/3085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5195 ÷ 215
    5195 ÷ 32768     		x = 0.158538818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3085 ÷ 215
    3085 ÷ 32768     		y = 0.094146728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158538818359375 × 2 - 1) × π
    -0.68292236328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14546388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094146728515625 × 2 - 1) × π
    0.81170654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55005131218851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14546388} λ = -2.14546388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55005131218851))-π/2
    2×atan(12.807760960047)-π/2
    2×1.49287674638328-π/2
    2.98575349276657-1.57079632675     		φ = 1.41495717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14546388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.926025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41495717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.071074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5195 KachelY 3085 -2.14546388 1.41495717 -122.926025 81.071074
    Oben rechts KachelX + 1 5196 KachelY 3085 -2.14527213 1.41495717 -122.915039 81.071074
    Unten links KachelX 5195 KachelY + 1 3086 -2.14546388 1.41492740 -122.926025 81.069368
    Unten rechts KachelX + 1 5196 KachelY + 1 3086 -2.14527213 1.41492740 -122.915039 81.069368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41495717-1.41492740) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dl = 189.664670000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41495717-1.41492740) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dr = 189.664670000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14546388--2.14527213) × cos(1.41495717) × R
    0.000191749999999935 × 0.155209141427318 × 6371000     		do = 189.609579126349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14546388--2.14527213) × cos(1.41492740) × R
    0.000191749999999935 × 0.155238550594775 × 6371000     		du = 189.645506519624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41495717)-sin(1.41492740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155209141427318-0.155238550594775)×R²
    abs(-2.14527213--2.14546388)×2.94091674569175e-05×R²
    0.000191749999999935×2.94091674569175e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.94091674569175e-05×40589641000000     		ar = 35965.6453359435m²