Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5195 / 3083
↖ ↑ ↗
← N 81.074484°
W122.926025°		 ← 189.54 m → N 81.074484°
W122.915039°		 →
↑
189.60 m
↓
↑
189.60 m
↓
N 81.072779°
W122.926025°		 ← 189.57 m →
35 940 m²		 N 81.072779°
W122.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158554077148438 y=0.0941009521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158554077148438 × 215)
    floor (0.158554077148438 × 32768)
    floor (5195.5)     		tx = 5195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0941009521484375 × 215)
    floor (0.0941009521484375 × 32768)
    floor (3083.5)     		ty = 3083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5195 / 3083 ti = "15/5195/3083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5195/3083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5195 ÷ 215
    5195 ÷ 32768     		x = 0.158538818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3083 ÷ 215
    3083 ÷ 32768     		y = 0.094085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158538818359375 × 2 - 1) × π
    -0.68292236328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14546388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094085693359375 × 2 - 1) × π
    0.81182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55043480738547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14546388} λ = -2.14546388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55043480738547))-π/2
    2×atan(12.8126736167889)-π/2
    2×1.49290650172743-π/2
    2.98581300345486-1.57079632675     		φ = 1.41501668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14546388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.926025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41501668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.074484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5195 KachelY 3083 -2.14546388 1.41501668 -122.926025 81.074484
    Oben rechts KachelX + 1 5196 KachelY 3083 -2.14527213 1.41501668 -122.915039 81.074484
    Unten links KachelX 5195 KachelY + 1 3084 -2.14546388 1.41498692 -122.926025 81.072779
    Unten rechts KachelX + 1 5196 KachelY + 1 3084 -2.14527213 1.41498692 -122.915039 81.072779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41501668-1.41498692) × R
    2.97599999998788e-05 × 6371000     		dl = 189.600959999228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41501668-1.41498692) × R
    2.97599999998788e-05 × 6371000     		dr = 189.600959999228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14546388--2.14527213) × cos(1.41501668) × R
    0.000191749999999935 × 0.155150352316493 × 6371000     		do = 189.537760041092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14546388--2.14527213) × cos(1.41498692) × R
    0.000191749999999935 × 0.155179751880032 × 6371000     		du = 189.573675701844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41501668)-sin(1.41498692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155150352316493-0.155179751880032)×R²
    abs(-2.14527213--2.14546388)×2.9399563538729e-05×R²
    0.000191749999999935×2.9399563538729e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.9399563538729e-05×40589641000000     		ar = 35939.9460839498m²