Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51948 / 50436
↖ ↑ ↗
← S 69.170373°
E105.358887°		 ← 217.19 m → S 69.170373°
E105.364380°		 →
↑
217.19 m
↓
↑
217.19 m
↓
S 69.172326°
E105.358887°		 ← 217.17 m →
47 169 m²		 S 69.172326°
E105.364380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792671203613281 y=0.769599914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792671203613281 × 216)
    floor (0.792671203613281 × 65536)
    floor (51948.5)     		tx = 51948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769599914550781 × 216)
    floor (0.769599914550781 × 65536)
    floor (50436.5)     		ty = 50436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51948 / 50436 ti = "16/51948/50436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51948/50436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51948 ÷ 216
    51948 ÷ 65536     		x = 0.79266357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50436 ÷ 216
    50436 ÷ 65536     		y = 0.76959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79266357421875 × 2 - 1) × π
    0.5853271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83885947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76959228515625 × 2 - 1) × π
    -0.5391845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6938982849743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83885947} λ = 1.83885947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6938982849743))-π/2
    2×atan(0.183801614522143)-π/2
    2×0.181772790298499-π/2
    0.363545580596998-1.57079632675     		φ = -1.20725075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83885947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20725075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.170373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51948 KachelY 50436 1.83885947 -1.20725075 105.358887 -69.170373
    Oben rechts KachelX + 1 51949 KachelY 50436 1.83895534 -1.20725075 105.364380 -69.170373
    Unten links KachelX 51948 KachelY + 1 50437 1.83885947 -1.20728484 105.358887 -69.172326
    Unten rechts KachelX + 1 51949 KachelY + 1 50437 1.83895534 -1.20728484 105.364380 -69.172326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20725075--1.20728484) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dl = 217.187389999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20725075--1.20728484) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dr = 217.187389999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83885947-1.83895534) × cos(-1.20725075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355590306145506 × 6371000     		do = 217.190210124226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83885947-1.83895534) × cos(-1.20728484) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355558443995555 × 6371000     		du = 217.17074911271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20725075)-sin(-1.20728484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355590306145506-0.355558443995555)×R²
    abs(1.83895534-1.83885947)×3.18621499509897e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18621499509897e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18621499509897e-05×40589641000000     		ar = 47168.8615316372m²