Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51947 / 50446
↖ ↑ ↗
← S 69.189897°
E105.353394°		 ← 217 m → S 69.189897°
E105.358887°		 →
↑
217 m
↓
↑
217 m
↓
S 69.191848°
E105.353394°		 ← 216.98 m →
47 085 m²		 S 69.191848°
E105.358887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792655944824219 y=0.769752502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792655944824219 × 216)
    floor (0.792655944824219 × 65536)
    floor (51947.5)     		tx = 51947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769752502441406 × 216)
    floor (0.769752502441406 × 65536)
    floor (50446.5)     		ty = 50446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51947 / 50446 ti = "16/51947/50446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51947/50446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51947 ÷ 216
    51947 ÷ 65536     		x = 0.792648315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50446 ÷ 216
    50446 ÷ 65536     		y = 0.769744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792648315429688 × 2 - 1) × π
    0.585296630859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83876360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.53948974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69485702296671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83876360} λ = 1.83876360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69485702296671))-π/2
    2×atan(0.183625481377496)-π/2
    2×0.181602407681329-π/2
    0.363204815362658-1.57079632675     		φ = -1.20759151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83876360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.353394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20759151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.189897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51947 KachelY 50446 1.83876360 -1.20759151 105.353394 -69.189897
    Oben rechts KachelX + 1 51948 KachelY 50446 1.83885947 -1.20759151 105.358887 -69.189897
    Unten links KachelX 51947 KachelY + 1 50447 1.83876360 -1.20762557 105.353394 -69.191848
    Unten rechts KachelX + 1 51948 KachelY + 1 50447 1.83885947 -1.20762557 105.358887 -69.191848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20759151--1.20762557) × R
    3.40599999999469e-05 × 6371000     		dl = 216.996259999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20759151--1.20762557) × R
    3.40599999999469e-05 × 6371000     		dr = 216.996259999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83876360-1.83885947) × cos(-1.20759151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355271796923068 × 6371000     		do = 216.995668586529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83876360-1.83885947) × cos(-1.20762557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355239958687689 × 6371000     		du = 216.976222181741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20759151)-sin(-1.20762557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355271796923068-0.355239958687689)×R²
    abs(1.83885947-1.83876360)×3.18382353792224e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18382353792224e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18382353792224e-05×40589641000000     		ar = 47085.1386255695m²